Wahrscheinlichkeitstheorie – Grundbegriffe
Als Zufallsexperiment wird ein Versuch bezeichnet, dessen Ausgang zufällig ist, nicht vorhergesagt werden kann und unendlich unter gleichen Bedingungen wiederholbar ist.
- geplanter Zufallsvorgang, der unter gleichen Bedingungen wiederholbar ist
- alle möglichen Ergebnisse sind im Voraus bekannt
- das tatsächliche Ergebnis ist im Voraus nicht bekannt
- Beispiele: Ziehung einer Karte aus einem Skat-Kartendeck, Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze
Ein Zufallsexperiment besitzt verschiedene Ausgänge. Jeder einzelne Ausgang wird als Ergebnis (\(\omega\)) bezeichnet. Alle Ergebnisse werden in der Ergebnismenge (Ergebnismäß) (\(\Omega\)) zusammengefasst. Ein Ereignis (\(E\)) besteht wiederum aus Ergebnissen und wird häufig durch eine Aufgabe vorgegeben und definiert. In der zugehörigen Ereignismenge befinden sich alle Ergebnisse, die dieses Ereignis erfüllen. Besteht ein Ereignis aus genau einem Ergebnis, so wird dieses Ereignis als Elementarereignis bezeichnet. Zu jedem Ereignis gibt es zudem ein Gegenereignis (\(\overline{E}\)), das sich aus den Ergebnissen zusammensetzt, die nicht im Ereignis enthalten sind.
Ausgänge eines Zufallsexperiments
Ergebnismenge (\(\Omega\)):Menge aller Ergebnisse
Ereignis (\(E\)):Zusammenfassung einzelner Ergebnisse
Ereignismenge:Menge aller Ergebnisse, die das Ereignis erfüllen
Elementarereignis:Ereignis, das aus genau einem Ergebnis besteht
Gegenereignis (\(\overline{E}\)):bestehend aus den Ergebnissen, die das Ereignis nicht erfüllen
Es wird der Wurf eines sechsseitigen Würfels betrachtet.
Ergebnisse:
1, 2, 3, 4, 5, und 6
Ergebnismenge:
Nun lassen sich verschiedene Ereignisse und die zugehörigen Ereignismengen betrachten:
Zu diesen Ereignissen lassen sich nun jeweils Gegeneignisse formulieren:
Wahrscheinlichkeit
Der Ausgang eines Zufallsexperiments lässt sich nicht vorhersagen, doch jedem Ereignis \(A\) lässt sich eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für das Eintreten eines Ereignisses und wird mit \(P(A)\) bezeichnet. Im Allgemeinen gilt für die Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis \(A\) liegt stets zwischen 0 und 1
Die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse beträgt stets 1
Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis \(A\) und Gegenereignis \(\overline{A}\) beträgt stets 1
Laplace-Experiment
Als ein Laplace-Experiment wird ein Versuch bezeichnet, bei dem jedes Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt. Dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\) durch den Quotienten aus der Anzahl aller günstigen Ergebnisse für \(A\) und der Anzahl aller möglichen Ergebnisse bestimmen:
Typischstes Beispiel für ein Laplace-Experiment ist der Würfelwurf. Es sind sechs Ergebnisse möglich, die aufgrund der Bauweise des Würfels jeweils dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen mit \(P(\omega) = \frac{1}{6}\)
Beispiel:Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Würfeln die Augensumme 5 beträgt.
Zunächst wird die Anzahl aller möglichen Ergebnisse betrachtet. Insgesamt sind 36 Ergebnisse bei einem zweimaligen Würfelwurf möglich.
Nun wird die Anzahl aller günstigen Ergebnisse betrachtet. Das Ereignis A „Augensumme ist 5" wird von insgesamt vier Ergebnissen erfüllt:
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Bernoulli-Experiment
Als ein Bernoulli-Experiment wird ein Versuch bezeichnet, bei dem es nur zwei mögliche Ausgänge gibt. Der Ergebnisraum also aus nur zwei Elementen. Die beiden möglichen Ausgänge werden meist als Erfolg bzw. Misserfolg bezeichnet.
Beispiele:Münzwurf
Die Münze kann Wappen oder Zahl fallen, somit gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse. Bei dem Münzwurf hat sowohl das Wappen als auch die Zahl die Wahrscheinlichkeit 50%. Damit handelt es sich sowohl um ein Laplace- als auch um ein Bernoulli-Experiment
Würfelwurf
Der Würfel hat zunächst sechs mögliche Ausgänge. Definiert man jedoch ein bestimmtes Ereignis als Erfolg, wird aus dem Würfelwurf ein Bernoulli-Experiment. So kann als Erfolg definiert werden, dass die Zahl sechs gewürfelt wird. Somit gibt es nur noch zwei Ausgänge:
- „Es wird eine 6 gewürfelt" → Erfolg
- „Es wird keine 6 gewürfelt" → Misserfolg
In diesem Fall der Definition ist der Würfelwurf ein Bernoulli- und kein Laplace-Experiment mehr.