Lineare Funktion
Bei einer linearen Funktion handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 1. Die lineare Funktion ist eine steigende oder fallende Gerade mit einer konstanten Steigung.
Allgemeine Form
y-Achsenabschnitt
Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion eindeutig bestimmen zu können, benötigt man einen der folgenden Fälle an Informationen:
- zwei Punkte A und B
- einen Punkt A und die Steigung m
- einen Punkt A und den y-Achsenabschnitt
Fall 1: Zwei Punkte \( A(x_1|y_1) \) und \( B(x_2|y_2) \)
Gesucht: Lineare Funktion aus zwei Punkten \( A \) und \( B \)
1. Steigung zwischen den beiden Punkten \( A \) und \( B \) berechnen:
2. y-Achsenabschnitt berechnen durch Einsetzen eines Punktes und der berechneten Steigung \( m \) in \( f(x) = m \cdot x + b \)
3. Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \) in
Beispiel:
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, die durch die beiden Punkte \( A(0|2) \) und \( B(2|4) \) geht.
Schritt 1: Steigung \( m \) zwischen den beiden Punkten \( A \) und \( B \) berechnen:
Die allgemeine Form der linearen Funktion lautet somit zu diesem Zeitpunkt \( f(x) = 1 \cdot x + b \), wobei die \( 1 \) in diesem Fall häufig nicht mitgeschrieben wird. Man schreibt nur \( f(x) = x + b \).
Schritt 2: y-Achsenabschnitt berechnen durch Einsetzen eines Punktes und der berechneten Steigung \( m \) in \( f(x) = m \cdot x + b \):
Schritt 3: Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \):
Die allgemeine Form der linearen Funktion lautet somit \( f(x) = x + 2 \).
Fall 2: Ein Punkt \( A(x_1|y_1) \) und Steigung \( m \)
Gesucht: Lineare Funktion aus einem Punkt \( A \) und der Steigung \( m \)
1. y-Achsenabschnitt berechnen durch Einsetzen des Punktes \( A \) und der gegebenen Steigung \( m \) in \( f(x) = m \cdot x + b \)
2. Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \) in
Beispiel:
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, die durch den Punkt \( A(2|2) \) geht und die Steigung \( m = 3 \) besitzt.
Schritt 1: y-Achsenabschnitt berechnen durch Einsetzen des Punktes \( A \) und der gegebenen Steigung \( m \) in \( f(x) = m \cdot x + b \):
Schritt 2: Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \):
Die allgemeine Form der linearen Funktion lautet somit \( f(x) = 3x - 4 \).
Fall 3: Ein Punkt \( A(x_1|y_1) \) und y-Achsenabschnitt \( b \)
Gesucht: Lineare Funktion aus einem Punkt \( A \) und y-Achsenabschnitt \( b \)
1. Steigung berechnen durch Einsetzen des Punktes \( A \) und des y-Achsenabschnitts \( b \) in \( f(x) = m \cdot x + b \)
2. Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \) in
Beispiel:
Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, die durch den Punkt \( A(3|5) \) geht und die y-Achse bei \( y = -4 \) schneidet.
Schritt 1: Steigung berechnen durch Einsetzen des Punktes \( A \) und des y-Achsenabschnitts in
Schritt 2: Funktionsgleichung aufstellen durch Einsetzen von \( m \) und \( b \):
Die allgemeine Form der linearen Funktion lautet somit