Aufgabe 2 – Erhöhtes Anforderungsniveau
Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung der Einwohnerzahl der Stadt „Eazyhausen" seit 1950:
a) Für die Entwicklung der Einwohnerzahl ab 1950 soll ein exponentielles Wachstum der Form
angenommen werden; \( x \) in Jahren und \( B(x) \) in Einwohnerzahl zum Zeitpunkt \( x \). Bestimme mithilfe der Daten aus dem Jahr 1950 und 2010 die Funktionsgleichung. Untersuche, ob die Modellierung um maximal 2% von den tatsächlichen Einwohnerzahlen abweicht.
Berechne, wie hoch die Einwohnerzahl nach diesem Modell im Jahr 1800 war. Berechne, in welchem Jahr die Einwohnerzahl von 15000 erreicht wurde. Bestimme das Jahr, in dem erstmalig die momentane Zuwachsrate größer als 1000 pro Jahr ist. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Untersuche die Auswirkung auf die Änderungsrate von \( B'(x) \), wenn die AnfangsEinwohnerzahl \( B_0 \) halbiert wird.
Beurteile, inwiefern das Modell des exponentiellen Wachstums die Entwicklung der Einwohnerzahl auf lange Sicht beschreiben kann. Gib begründet eine Empfehlung ab, welches Wachstumsmodell die langfristige Entwicklung der Einwohnerzahl am besten beschreibt.
b) Experten gehen davon aus, dass ab dem Jahr 2020 die Einwohnerzahl nur noch beschränkt exponentiell wächst und im Jahr 2025 eine Einwohnerzahl von ungefähr 31000 erreicht wird. Begründe, dass nach dieser Vorstellung die Entwicklung der Einwohnerzahl ab dem Jahr 2020 näherungsweise durch die Funktion
in Jahren und \( g(x) \) in Einwohnerzahl zum Zeitpunkt \( x \), beschrieben werden kann.
Begründe, dass für den Grenzwert gilt:
und erläutere die Bedeutung im Sachzusammenhang.
Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf die Einwohnerzahl 95% der maximal möglichen Einwohnerzahl überschreitet.
Bestimme das Jahr, in dem die momentane Änderungsrate von \( g \) mit der durchschnittlichen Änderungsrate pro Jahr zwischen 1950 und 1965 übereinstimmt.
Aufgrund von Erfahrungen aus anderen Städten geht ein weiteres Expertenteam davon aus, dass sich die Einwohnerzahl ab dem Jahr 2025 in Abhängigkeit des Parameters \( k \) entsprechend des Modells
verhalten wird; \( x \) in Jahren und \( h_k(x) \) in Einwohnerzahl in 5000 zum Zeitpunkt \( x \).
c) In Material 1 finden sich Graphen für verschiedene Werte für k. Gib begründet die Werte für k an.
Bestimme den Wert für k, bei dem im Jahr 2025 die Einwohnerzahl 33000 beträgt. Gib im Anschluss begründet an, von welcher Einwohnerzahl langfristig in diesem Modell ausgegangen wird.
Zeige, dass stets bei \( x = k - 1 \) mit \( k \neq 0 \) die Einwohnerhöchststände liegen.
d) Unabhängig vom Sachzusammenhang schließt der y-Achsenabschnitt von \( h_k \) mit der Nullstelle der zugehörigen Tangente von \( h_k \) an \( x = 0 \) ein rechtwinkliges Dreieck ein.
Zeige, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt:
Begründe, dass nur für \( k = 6 \) dieses Dreieck gleichschenklig ist.
Material 1: x in Jahren und hk(x) in Einwohnerzahl in 10000 zum Zeitpunkt x
Lösung
Aufgabenteil a)
(1)
(60|25000) eingesetzt in \( B(x) \) ergibt \( k \approx 0.019 \) und \( B(x) = 8000 \cdot e^{0.019x} \)
(2)
Die Modellierung weicht bei den angegebenen Werten jeweils um weniger als 2% ab.
(3)
A: Nach diesem Modell war die Einwohnerzahl im Jahr 1800 ungefähr 463.
(4)
A: Die Einwohnerzahl von 15000 wurde im Jahr 1983 erreicht.
(5)
A: Im Jahr 2049 wird erstmals eine momentane Zuwachsrate von 1000 erreicht. Interpretation: In diesem Jahr steigt die Einwohnerzahl das erste mal um mehr als 1000 Einwohner pro Jahr an.
(6)
A: Die Änderungsrate wird in diesem Fall ebenfalls halbiert.
(7) Bei diesem Modell handelt es sich um eine unbegrenzte exponentielle Zunahme. Die Einwohnerzahl läuft demnach langfristig gegen unendlich. Langfristig betrachtet beschreibt das Modell des logistischen oder des begrenzten Wachstums die Einwohnerzahl besser, da der Wohnraum zum Leben begrenzt sein wird.
Aufgabenteil b)
(1) Es ist \( g(0) = 29850 \), was dem Tabellenwert des Jahres 2020 entspricht und es ist \( g(5) \approx 31009 \), was näherungsweise dem Wert von 31000 im Jahr 2025 entspricht.
(2) Wenn \( x \to \infty \) strebt, dann strebt \( 5150 \cdot e^{-0.051x} \to 0 \) und somit strebt
Langfristig wird sich die Einwohnerzahl auf 35000 einpendeln.
(3)
A: Nach diesem Modell wird im Jahr 2041 diese Einwohnerzahl überschritten.
(4) Durchschnittliche Änderungsrate:
A: Im Jahr 2026 wird die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 1950 und 1965 erreicht.
Aufgabenteil c) - Lösungen
(1) Es ist \( h_k(0) = \frac{6}{5}k \) (y-Achsenabschnitt)
Daraus folgt für die Graphen von unten nach oben:
\( k_1 = 5, \, k_2 = 8, \, k_3 = 11 \)
(2)
A: Die Funktion strebt langfristig gegen den Wert 5.5, was einer Einwohnerzahl von 27500 entspricht.
(3) Einwohnerhöchststände = Maximum von \( h_k(x) \)
Notwendige Bedingung:
Hinreichende Bedingung:
Aufgabenteil d)
(1) y-Achsenabschnitt:
Tangente:
mit Nullstelle bei
(2) Für Gleichschenkligkeit muss gelten:
Bei \( k = 0 \) existiert kein Dreieck, da Nullstelle und y-Achsenabschnitt jeweils im Ursprung liegen. Daher ist nur für \( k = 6 \) dieses Dreieck gleichschenklig.