Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Als Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen werden die Stellen bezeichnet, in denen die Funktion die x- bzw. y-Achse schneidet. Die Schnittpunkte mit der y-Achse werden hierbei als y-Achsenabschnitt und die mit der x-Achse als Nullstellen bezeichnet.
y-Achsenabschnitt:
\( f(0) \)
➔ In die Funktion für die Variable 0 einsetzen und ausrechnen
Nullstellen:
\( f(x) = 0 \)
➔ Funktion mit 0 gleichsetzen und nach der Variablen auflösen
Beispiel
Bestimme die Achsenschmittpunkte der Funktion \( f(x) = -x^3 - x^2 + 2x \).
y-Achsenabschnitt:
\( f(0) = -0^3 - 0^2 + 2 \cdot 0 \)
\( f(0) = 0 \)
→ y-Achsenabschnitt liegt also bei \( y = 0 \)
Nullstellen:
\( 0 = -x^3 - x^2 + 2x \quad |T \)
\( 0 = x \cdot (-x^2 - x + 2) \)
\( 0 = x_1 \quad 0 = -x^2 - x + 2 \quad |:(-1) \)
\( 0 = x^2 + x - 2 \quad |pq \)
\( p = 1 \quad q = -2 \)
\( x_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - (-2)} \)
\( x_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2} \)
\( x_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \)
\( x_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \)
\( x_2 = 1 \)
\( x_3 = -2 \)
→ Nullstellen liegen also bei \( x_1 = 0 \),
\( x_2 = 1 \) und \( x_3 = -2 \)