Ebenengleichung (Parameterform)
Eine Ebene in Parameterform besteht aus einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren, die gemeinsam eine Ebene aufspannen. Die allgemeine Gleichung in der Parameterform lautet:
- \( \overrightarrow{SV} \): Stützvektor
- \( \overrightarrow{RV} \): Richtungsvektoren
- \( \lambda \): Parameter
Zum Aufstellen einer Ebenengleichung in Parameterform benötigt man mindestens eine dieser vier Informationspakete:
- Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen
- Eine Gerade und einen Punkt
- Zwei schneidende Geraden
- Zwei parallele Geraden
Wichtig: Eine Ebene liegt nur dann vor, wenn die beiden Richtungsvektoren nicht in dieselbe Richtung zeigen. Sind die Richtungsvektoren kollinear, also ein Vielfaches voneinander, so liegt keine Ebenengleichung, sondern eine Geradengleichung vor.
Drei Punkte
Eine Ebenengleichung aus drei Punkten A, B und C bestimmt am besten mit der folgenden Formel:
Dabei wird als Stützvektor der Ortsvektor eines gegebenen Punktes gewählt und als Richtungsvektor zwei verschiedene Verschiebungsvektoren zwischen den drei Punkten.
Eine Ebenengleichung in Parameterform aus drei Punkten lässt sich in insgesamt 36 verschiedene Arten darstellen. Für den Stützvektor gibt es insgesamt drei Möglichkeiten \( (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}) \) und für die Richtungsvektoren gibt es jeweils sechs Möglichkeiten \( (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CB}) \).
Beispiel:
Gegeben: \( A(1|2|4) \), \( B(2|-2|0) \) und \( C(4|7|2) \)
Eine Gerade und ein Punkt
Eine Ebenengleichung aus einer Geraden \( g \) der Form \( g: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \) und einem Punkt \( P \) bestimmt man am besten mit der folgenden Formel:
Für die Ebenengleichung werden sowohl der Stütz- als auch der Richtungsvektor der Geradengleichung übernommen. Als zweiten Richtungsvektor verwendet man den Verschiebungsvektor vom Punkt \( P \) zu dem Stützvektor der Geraden.
Beispiel:
Zwei schneidende Geraden
Eine Ebenengleichung aus einer Geraden \( g \) der Form \( g: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \) und einer Geraden \( h \) der Form \( h: \vec{x} = \overrightarrow{OC} + \lambda \cdot \overrightarrow{CD} \), von denen bekannt ist, dass sie sich in einem Punkt schneiden, bestimmt man am besten wie folgt:
Als Stützvektor der Ebenengleichung \( E \) wird einer der beiden Stützvektoren der Geradengleichungen oder aber der bereits bekannte Schnittpunkt gewählt. Für die beiden Richtungsvektoren der Ebenengleichung \( E \) werden jeweils die Richtungsvektoren der Geradengleichungen genommen.
Beispiel:
Zwei parallele Geraden
Eine Ebenengleichung aus einer Geraden \( g \) der Form \( g: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \) und einer Geraden \( h \) der Form \( h: \vec{x} = \overrightarrow{OC} + \lambda \cdot \overrightarrow{CD} \), von denen bekannt ist, dass sie parallel zueinander liegen, bestimmt man am besten wie folgt:
Als Stützvektor der Ebenengleichung \( E \) wird einer der beiden Stützvektoren der Geradengleichungen gewählt. Da die beiden Richtungsvektoren der beiden Geradengleichungen kollinear sind, kann lediglich einer der beiden für die Ebenengleichung gewählt werden. Als zweiten Richtungsvektor bestimmt man in diesem Fall den Verschiebungsvektor zwischen beiden Stützvektoren der Geraden.
Beispiel:
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