Steckbriefaufgaben

Als Steckbriefaufgaben werden Aufgaben bezeichnet, bei denen bestimmte Eigenschaften einer Funktion vorgegeben sind und die Funktion bestimmt werden soll.
Ein solche Aufgabe wird stets nach bestimmten Schritten gelöst:

Achtung: Sollte kein Grad für die Funktion vorgegeben sein, nimmt man den höchstmöglichen Grad. Dabei gilt: Anzahl der Bedingungen = Anzahl der Parameter!

Beispiel:

Gesucht ist eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades, die durch den Punkt \( P(1| -8,5) \) verläuft, bei \( y = 4 \) die y-Achse schneidet und einen Wendepunkt bei \( x = -1,5 \) besitzt.

Schritt 1: Aufgabentext lesen:

Welchen Grad besitzt die Funktion? → Grad 4
Liegt eine Symmetrie vor? → Achsensymmetrie

Schritt 2: Informationen aus dem Text schreiben und Bedingungen aufstellen:

„die durch den Punkt \( P(1| -8,5) \) verläuft" → \( f(1) = -8,5 \)
„bei \( y = 4 \) die y-Achse schneidet" → \( f(0) = 4 \)
„einen Wendepunkt bei \( x = -1,5 \) besitzt" → \( f''(-1,5) = 0 \)

Schritt 3: Allgemeine Funktionsgleichung und ggf. Ableitungen notieren. Wichtig ist hier, dass bereits festgestellt wurde, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Daher besitzt die Funktion nur gerade Exponenten:

Schritt 4: Bedingungen in Funktion oder jeweilige Ableitung einsetzen und ein Lineares Gleichungssystem aufstellen:

Schritt 5: Lineares Gleichungssystem lösen. Entweder wendet man an dieser Stelle eines der vorgestellten Löseverfahren aus Kapitel 10 an oder aber, je nach Operator, löst man das Gleichungssystem mithilfe des Taschenrechners:

Die Lösung des Gleichungssystem lautet: \( a = 1, \; b = -13,5, \; c = 4 \)

Schritt 6: Funktionsgleichung aufstellen:

Die Lösungen für die Parameter werden nun in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt: