Globalverhalten
Bei dem Grenzverhalten geht es darum, wie sich die Funktion verhält, wenn \( x \) gegen Unendlich läuft (\( x \to \pm \infty \)). Es stellt sich also hierbei die Frage, in welche Richtung die Funktion auf der linken bzw. rechten Seite weiterverläuft.
→ Was passiert, wenn für \( x \) eine hohe negative Zahl eingesetzt wird?
→ Was passiert, wenn für \( x \) eine hohe positive Zahl eingesetzt wird?
Entscheidend für das Globalverhalten ist stets die Potenz mit dem größten Exponenten und dem zugehörigen Faktor.
Beispiel
Im Folgenden soll das Grenzverhalten der Funktion \( f(x) = -2x^3 + 2x \) überprüft werden.
Entscheidend ist in diesem Fall der Ausdruck "\( -2x^3 \)".
1.) Wenn \( x \to -\infty \), dann \( f(x) \to \infty \).
Wird in dem Ausdruck \( -2x^3 \) eine negative Zahl eingesetzt, wird der gesamte Ausdruck positiv. Somit verläuft die Funktion auf der linken Seite gegen \( \infty \).
2.) Wenn \( x \to \infty \), dann \( f(x) \to -\infty \).
Wird in dem Ausdruck \( -2x^3 \) eine positive Zahl eingesetzt, wird der gesamte Ausdruck negativ. Somit verläuft die Funktion auf der rechten Seite gegen \( -\infty \).
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