Vektor

Vektoren beschreiben eine Lage im Raum. Sie sind im Gegensatz zu Punkten nicht ortsgebunden.

Ortsvektoren

Ortsvektoren geben die Verschiebung vom Koordinatenursprung \(O(0|0|0)\) zu einem Punkt an.

Der Ortsvektor, der vom Ursprung zum Punkt \( A(-1|4|3) \) führt, lautet:

Verschiebungsvektoren

Verschiebungsvektoren geben die Richtung von Punkt zu Punkt an. Berechnet wird er durch die Differenz beider Ortsvektoren.

Der Richtungsvektor von dem Punkt \( A(2|3|1) \) zu dem Punkt \( B(1|3|-2) \) lautet:

Länge eines Vektors

Ein Vektor hat nicht nur eine bestimmte Richtung, sondern auch eine feste Länge. Die Länge eines Vektors können wir bestimmen, indem wir den Betrag des Vektors bestimmen.

Beispiel:

Bestimme die Länge des Vektors \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \).

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren. Das Ergebnis des Skalarprodukts ergibt jedoch keinen Vektor, sondern eine Zahl.

Merke: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, so stehen diese orthogonal/senkrecht (= 90°) zueinander.

Beispiel:

Untersuche die Vektoren \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) auf Orthogonalität.

Da das Skalarprodukt 0 ergibt, stehen beide Vektoren senkrecht/orthogonal zueinander.

Kreuzprodukt

Ein Kreuzprodukt ist ein Vektor, der senkrecht zu einer Ebene steht, welches aus zwei Vektoren gespannt wird. Das Kreuzprodukt wird auch Vektorprodukt genannt.

Wichtig: Der Betrag eines Kreuzproduktes entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, welches durch die Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) gespannt wird.

Beispiel:

Bestimme das Kreuzprodukt der beiden Vektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Kollinearität

Zeigen Vektoren in dieselbe Richtung sind sie linear abhängig, auch als kollinear bezeichnet. Um dies zu prüfen, untersuchen wir, ob die Vektoren \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) ein Vielfaches voneinander sind:

Beispiel:

Prüfe, ob die Vektoren \( \overrightarrow{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \) und \( \overrightarrow{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} \) linear abhängig sind.

Da alle \( \lambda \) gleich sind → linear abhängig

Mittelpunkt einer Strecke

Um den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten \( P_1(x_1|y_1|z_1) \) und \( P_2(x_2|y_2|z_2) \) zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.

1. Möglichkeit:

Beispiel:

Bestimme den Mittelpunkt zwischen den Punkten \( P(4|-1|5) \) und \( Q(1|6|1) \).

2. Möglichkeit:

Beispiel:

Bestimme den Mittelpunkt mit dem Punkt \( P(2|4|4) \) und dem Vektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \).