Einsetzungsverfahren
Gesucht: LGS lösen mit dem Einsetzungsverfahren
- Eine der Gleichungen nach einer Variablen umformen
- Umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzen und erste Variable durch Äquivalenzumformungen bestimmen
- Berechnete Variable in umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweite Variable bestimmen
Beispiel:
\( \begin{array}{rcrcrcr}
I & \quad & 2a & + & 4b & = & 0 \\
II & \quad & 1a & - & 2b & = & 8
\end{array} \)
Schritt 1: Eine der Gleichungen nach einer Variablen umformen. In diesem Fall wird die zweite Gleichung nach a umgeformt:
\( \begin{array}{rcrcrcr}
II & \quad & 1a - 2b & = & 8 & \quad |+2b \\
& \quad & a & = & 8 + 2b &
\end{array} \)
Schritt 2: Umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzen und erste Variable durch Äquivalenzumformungen bestimmen:
\( \begin{array}{rcrcrcrl}
I & \quad & 2a & + & 4b & = & 0 & | \text{Einsetzen} \\
& \quad & 2 \cdot (8 + 2b) & + & 4b & = & 0 & | T \\
& \quad & 16 + 4b & + & 4b & = & 0 & | -16 \\
& \quad & 8b & & & = & -16 & | : 8 \\
& \quad & b & & & = & -2 & &
\end{array} \)
Schritt 3: Berechnete Variable in umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweite Variable bestimmen:
\( \begin{array}{rcrcrcrl}
II & \quad & a & = & 8 & + & 2b & | \text{Einsetzen} \\
& \quad & a & = & 8 & + & 2 \cdot (-2) & \\
& \quad & a & = & 8 & + & (-4) & \\
& \quad & a & = & 4 & & & &
\end{array} \)