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Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Aufgabe 1

Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren.

a)
\( \begin{aligned} I. & \quad 2a + 2b = 4 \\ II. & \quad a - 3b = 6 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} I. & \quad -3a + b = -9 \\ II. & \quad a - b = -1 \end{aligned} \)
c)
\( \begin{aligned} I. & \quad 2a = a + b \\ II. & \quad 5a + 4b = 3 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} I. & \quad -3a + b = -9 \\ II. & \quad a - b = -1 \end{aligned} \)
e)
\( \begin{aligned} I. & \quad 4a + 3b = 14 \\ II. & \quad 2a - b = 12 \end{aligned} \)
f)
\( \begin{aligned} I. & \quad -2a + b = 17 \\ II. & \quad b = 3a + 24 \end{aligned} \)
g)
\( \begin{aligned} I. & \quad 4a - 2b + c = 15 \\ II. & \quad -a + 3b + 4c = 15 \\ III. & \quad 5a - b + 3c = 26 \end{aligned} \)

Aufgabe 2

Löse die folgenden Aufgaben mit dem Gleichsetzungsverfahren.

a)
\( \begin{aligned} I. & \quad a = 2 + b \\ II. & \quad 3a = 6b - 3 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} I. & \quad -a + 3b = 6 \\ II. & \quad -2a - 2b = 4 \end{aligned} \)
c)
\( \begin{aligned} I. & \quad a = 3b + 24 \\ II. & \quad 2a - 4b = 34 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} I. & \quad b = 3a - 9 \\ II. & \quad a = b - 1 \end{aligned} \)

Aufgabe 3

Löse die folgenden Aufgaben mit dem Additionsverfahren.

a)
\( \begin{aligned} I. & \quad 4a - 6b = 7 \\ II. & \quad 8a - 9b = 10 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} I. & \quad 4a - 3b = 14 \\ II. & \quad 4a + 2b = 24 \end{aligned} \)
c)
\( \begin{aligned} I. & \quad a - 2b = 4 \\ II. & \quad -b - c = -1 \\ III. & \quad -a + 3b + 3c = -1 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} I. & \quad 3a + b - 2c = 0 \\ II. & \quad -3a - b + 2c = 0 \\ III. & \quad 6a + 2b - 4c = 0 \end{aligned} \)

Aufgabe 4

Löse die folgenden Aufgaben mit einem Verfahren deiner Wahl.

a)
\( \begin{aligned} I. & \quad a - b = 7 \\ II. & \quad 2a - 10b = -46 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} I. & \quad 12a = 15 - 9b \\ II. & \quad 4a + 3b = 5 \end{aligned} \)
c)
\( \begin{aligned} I. & \quad 4a - 5b = 9 \\ II. & \quad 2a - b = 1 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} I. & \quad a = -2 - 4b \\ II. & \quad 2a + 3b = -1 \end{aligned} \)
e)
\( \begin{aligned} I. & \quad a = 3b + 4 \\ II. & \quad 2a = 1 - b \end{aligned} \)
f)
\( \begin{aligned} I. & \quad a - 2b = -3 \\ II. & \quad b + 3a = 12 \end{aligned} \)

Aufgabe 5

Löse die folgenden Gleichungssysteme mithilfe des Gauß-Algorithmus.

a)
\( \begin{aligned} I. & \quad a + b + c = 3 \\ II. & \quad 2a + b - c = -1 \\ III. & \quad 3a - b + 3c = -1 \end{aligned} \)
b)
\( \begin{aligned} I. & \quad -2a - 6c = 10 \\ II. & \quad 2a + 3b + 3c = 2 \\ III. & \quad 3a + b = -3 \end{aligned} \)
c)
\( \begin{aligned} I. & \quad -a + 3b = -3 \\ II. & \quad 3a - b - 2c = 5 \\ III. & \quad -2b + 2c = -2 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} I. & \quad -a + b + c = 0 \\ II. & \quad a - 3b - 2c = 5 \\ III. & \quad 5a + b + 4c = 3 \end{aligned} \)
e)
\( \begin{aligned} I. & \quad -a - 2b + 4c = 5 \\ II. & \quad -4a + b - 3c = 1 \\ III. & \quad 7a + 3b - 5c = -12 \end{aligned} \)
f)
\( \begin{aligned} I. & \quad a + b + c + d = 4 \\ II. & \quad 8a + 4b + 2c + d = 2 \\ III. & \quad 64a + 16b + 4c + d = 4 \\ IV. & \quad 125a + 25b + 5c + d = 20 \end{aligned} \)
g)
\( \begin{aligned} I. & \quad 5a + b + 6c = -3 \\ II. & \quad a + 2b - c = 0 \\ III. & \quad 2a + b + 3c = 3 \end{aligned} \)
h)
\( \begin{aligned} I. & \quad 3a - 2b = -1 \\ II. & \quad -4a + 2b - 2c = 2 \\ III. & \quad 2a - b + c = 1 \end{aligned} \)

Lösungen

Aufgabe 1

a) \( a = 3 \), \( b = -1 \)

b) \( a = 5 \), \( b = 6 \)

c) \( a = \frac{1}{3} \), \( b = \frac{1}{3} \)

d) \( a = 5 \), \( b = 6 \)

e) \( a = 5 \), \( b = -2 \)

f) \( a = -7 \), \( b = 3 \)

g) \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 5 \)

Aufgabe 2

a) \( a = 5 \), \( b = 3 \)

b) \( a = -3 \), \( b = 1 \)

c) \( a = 3 \), \( b = -7 \)

d) \( a = 5 \), \( b = 6 \)

Aufgabe 3

a) \( a = -\frac{1}{4} \), \( b = -\frac{4}{3} \)

b) \( a = 5 \), \( b = 2 \)

c) \( a = 4 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \)

d) \( a = -\frac{1}{3}b + \frac{2}{3}c \), \( b = b \), \( c = c \)
(Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen)

Aufgabe 4

a) \( a = \frac{29}{2} = 14.5 \), \( b = \frac{15}{2} = 7.5 \)

b) \( a = \frac{5}{4} - \frac{3}{4}b \), \( b = b \)
(Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen)

c) \( a = -\frac{2}{3} \), \( b = -\frac{7}{3} \)

d) \( a = \frac{2}{5} \), \( b = -\frac{3}{5} \)

e) \( a = 1 \), \( b = -1 \)

f) \( a = 3 \), \( b = 3 \)

Aufgabe 5

a) \( a = -1 \), \( b = 2.5 \), \( c = 1.5 \)

b) \( a = -2 \), \( b = 3 \), \( c = -1 \)

c) \( a = 0 \), \( b = -1 \), \( c = 2 \)

d) \( a = -1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)

e) \( a = -1 \), \( b = 0 \), \( c = 1 \)

f) \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \), \( d = 0 \)

g) \( a = -5 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \)

h) keine Lösung (widersprüchliches Gleichungssystem)

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