Definitions-/Wertebereich
Eine Funktion ist so definiert, dass jedem \( x \)-Wert genau ein \( y \)-Wert zugeordnet wird. Unter dem Definitionsbereich versteht man hierbei die Menge aller Zahlen, die für die Variablen einer Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter dem Wertebereich versteht man dagegen das Intervall aller \( y \)-Werte, die von der Funktion getroffen werden.
Definitionsbereich = Menge aller Zahlen, die für die Variable eingesetzt werden dürfen
Wertebereich = Intervall aller \( y \)-Werte, die von der Funktion getroffen werden
Definitionsbereich
Für das Bestimmen des Definitionsbereichs muss man sich überlegen, ob die Funktion für alle \( x \)-Werte definiert ist. Hierbei gibt es genau drei Ausnahmen, bei denen eine Funktion nicht definiert ist, also nicht alle Zahlen für eine Variable eingesetzt werden dürfen. Andernfalls dürfen für die Funktion alle reellen Zahlen eingesetzt werden:
1.) Eine gerade Wurzel darf nie negativ sein.
→ Hier dürfen für die Variable \( x \) alle Zahlen, die größer gleich 4 sind, eingesetzt werden.
Warum? Weil der Term in der Wurzel nicht negativ sein darf, also \( \geq 0 \):
2.) Es darf nie durch die Zahl 0 geteilt werden.
→ Hier dürfen für die Variable \( x \) alle Zahlen eingesetzt werden, mit Ausnahme der 2.
Warum? Weil der Term im Nenner nicht genau 0 sein darf, also \( \neq 0 \):
3.) Der natürliche Logarithmus darf nie negativ sein.
→ Hier dürfen für die Variable \( x \) alle Zahlen, die größer gleich 0 sind, eingesetzt werden.
Warum? Weil der Term im natürlichen Logarithmus nicht negativ sein darf, also \( \geq 0 \).
Wertebereich
Für das Bestimmen des Wertebereichs müssen alle \( y \)-Werte betrachtet werden, die getroffen werden. Hierfür hilft es sich die Funktion zeichnen zu lassen oder aber Extremstellen zu berechnen:
Hierbei handelt es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel, die um drei Einheiten nach unten verschoben wurde. Der Tiefpunkt der Funktion liegt in dem Punkt \( (0| - 3) \). Somit werden von der Funktion alle \( y \)-Werte von \( -3 \) bis \( \infty \) getroffen. Daher lautet der Wertebereich:
Merke: Wird ein Wert von der Funktion nicht getroffen (wie \( \infty \)), zeigt die Klammer im Intervall nach außen. Wird ein Wert getroffen, zeigt die Klammer nach innen.