Rotationskörper: Volumenberechnung durch Integration verstehen

Bei Rotationskörpern handelt es sich um dreidimensionale Körper, die im zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt sind und durch eine Rotation einer Funktion um eine Achse entstehen. In der Schule wird fast ausschließlich die Rotation um die x-Achse betrachtet.

Die Volumenformel für Rotationskörper lautet im Allgemeinen:

\( \text{um die } x\text{-Achse:} \quad V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx \)

\( \text{um die } y\text{-Achse:} \quad V = \pi \int_{f(a)}^{f(b)} (f^{-1}(x))^2 \, dx \)

Beispiel:

Gesucht ist das Volumen eines Glases, das durch die Funktion \( f(x) = \sqrt{2x} \) dargestellt ist, wobei \( 2 \leq x \leq 10 \) und \( x \) sowie \( f(x) \) in cm.

Die Funktion wird hierbei nun gedanklich um die \( x \)-Achse rotiert. Mithilfe der Formel kann das Volumen des Glases im angegebenen Bereich bestimmt werden:

\( V = \pi \int_{2}^{10} (\sqrt{2x})^2 \, dx \)

\( V = \pi \int_{2}^{10} (2x) \, dx \)

\( V = \pi \left[ x^2 \right]_{2}^{10} \)

\( V = \pi \cdot (10^2 - 2^2) \)

\( V = \pi \cdot (100 - 4) \)

\( V = 96\pi \)

\( V \approx 301,59 \)

Das Volumen des Glases beträgt somit \( 301,59 \, \text{cm}^3 \) (\( \approx 0,3 \, \text{L} \)).

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