Baumdiagramm
Jedes mehrstufige Zufallsexperiment lässt sich auf unterschiedliche Arten darstellen. Bei einem Baumdiagramm handelt es sich um eine graphische Darstellung, mit der die Beziehungen zwischen den einzelnen Elementen übersichtlich dargestellt werden können.
Aufbau
In der ersten Stufe (1. Spalte) ist der erste Durchgang des Zufallsexperiments, in der zweiten Stufe (2. Spalte) der zweite Durchgang und so weiter dargestellt. An den jeweiligen Pfaden werden die Wahrscheinlichkeiten bzw. die relativen Anteile notiert. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten einer Stufe muss immer 1 ergeben.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich fünf rote und vier grüne Kugeln. Sollten zwei Kugeln gezogen werden.
Mit Zurücklegen:
Wichtig: Nach jedem Zug bleibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis gleich, da sich wieder alle Kugeln in der Urne befinden.
Ohne Zurücklegen:
Wichtig: Nach jedem Zug ändert sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, da nicht mehr die gleiche Anzahl an Kugeln in der Urne sind.
Pfadregeln
Zur Berechnung verschiedener Ereignisse benötigt man die Pfadregeln:
Produktregel: Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades müssen multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Elementarereignisses zu berechnen.
Additionsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches mehrere Versuchsausgänge umfasst, wird bestimmt, indem die Wahrscheinlichkeiten der Versuchsausgänge addiert werden.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich fünf rote und vier grüne Kugeln. Es sollen zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( E_1 \): „Genau einmal rot".
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( E_2 \): „Gleiche Farbe".
d) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \( E_3 \): „Mindestens einmal grün".