Aufgaben
Aufgabe 1
Entscheide, ob es sich bei den folgenden Experimenten um ein Zufallsexperiment handelt. Begründe deine Entscheidung.
a)
Ziehung einer Karte aus einem Skat-Kartendeck
b)
Drehung eines Glücksrads mit drei gleichgroßen Feldern
c)
Messung der Siedetemperatur von Wasser
d)
Schießen auf fünf Scheiben bei einem Biathlon-Wettbewerb
e)
Die Farben eines Regenbogens
f)
Ziehung der Lottozahlen „6 aus 49"
Aufgabe 2
Nenne die Ergebnismenge (\( \Omega \)) von folgenden Experimenten.
a)
Ein Würfel wird einmal geworfen.
b)
Eine Münze wird zweimal geworfen.
c)
Eine Kugel wird aus einer Urne mit blauen, grünen und roten Kugeln gezogen.
d)
Es werden zwei Kugeln aus einer Urne mit einer blauen, zwei grünen und zwei roten Kugeln gezogen.
Aufgabe 3
Aus einem Skat-Kartendeck (bestehend aus 32 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen.
Berechne mithilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses.
a)
\( E_1 \): „Es wird eine Herz-Karte gezogen"
b)
\( E_2 \): „Es wird eine Zahlen-Karte gezogen"
c)
\( E_3 \): „Es wird eine Zahlen- oder eine Herz-Karte gezogen"
d)
\( E_4 \): „Es wird eine Zahlen- und eine Herz-Karte gezogen"
Aufgabe 4
Zwei sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne mithilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses.
a)
\( E_1 \): „Die Summe der Augenzahlen ist 7"
b)
\( E_2 \): „Ein Würfel zeigt eine 6"
c)
\( E_3 \): „Die Summe der Augenzahlen ist eine Primzahl"
d)
\( E_4 \): „Die Summe der Augenzahlen ist durch 6 teilbar"
Aufgabe 5
Entscheide jeweils, ob es sich bei den folgenden Experimenten um ein Laplace-, um ein Bernoulli-Experiment oder um keines der beiden handelt. Begründe deine Entscheidung.
a)
Es wird eine Karte aus einem Skat-Kartendeck gezogen unter Betrachtung des Merkmals, ob eine Herz-Karte gezogen wird.
b)
Es wird ein Würfel geworfen unter Betrachtung des Merkmals, welche Augenzahl gewürfelt wird.
c)
Es wird ein Würfel geworfen unter Betrachtung des Merkmals, ob die Zahl größer als 2 ist.
d)
Es wird ein Glücksrad mit drei gleichgroßen Feldern gedreht unter Betrachtung des Merkmals, welches Feld gedreht wird.
e)
Es wird eine Kugel aus einer Urne mit 6 schwarzen und 4 weißen Kugeln gezogen unter Betrachtung des Merkmals, welche Farbe gezogen wird.
f)
Es wird eine Kugel aus einer Urne mit zehn unterschiedlichen Kugeln gezogen unter Betrachtung des Merkmals, welche Kugel gezogen wird.
g)
Es wird ein Tetraeder geworfen, dessen Seiten jeweils mit einer Zahl beschriftet sind, unter Betrachtung des Merkmals, welche Zahl gewürfelt wird.
h)
Es wird eine Roulettescheibe gedreht unter Betrachtung des Merkmals, welche Farbe getroffen wird.
Aufgabe 6
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ...
a)
... bei einem zweimaligen Würfelwurf mindestens die Augenzahl 11 gewürfelt wird.
b)
... bei einem zweimaligen Würfelwurf die gleiche Zahl gewürfelt wird.
c)
... beim Ziehen der Lottozahlen (6 aus 49) die erste gezogene Kugel durch 3 teilbar ist.
d)
... beim Ziehen der Lottozahlen (6 aus 49) die erste gezogene Kugel eine Primzahl ist.
e)
... eine zufällig ausgewählte Person aus eurer Klasse am 16. Juni Geburtstag hat.
Lösungen
Aufgabe 1
a)
Ja, erfüllt alle Eigenschaften.
b)
Ja, erfüllt alle Eigenschaften.
c)
Nein, das tatsächliche Ergebnis ist bereits vorher bekannt.
d)
Nein, es ist nicht wiederholbar unter gleichen Bedingungen. Es wird beeinflusst durch innere Einflüsse wie Nerven oder äußere Einflüsse wie das Wetter in Form von Wind und/oder Regen.
e)
Nein, das tatsächliche Ergebnis ist bereits vorher bekannt.
f)
Ja, erfüllt alle vier Eigenschaften.
Aufgabe 2
a)
\(
\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}
\)
b)
\(
\Omega = \{KK; KZ; ZK; ZZ\}
\)
c)
\(
\Omega = \{Blau; Grün; Rot\}
\)
d)
\(
\Omega = \{BG; BR; BB; GG; GB; GR; RR; RB; RG\}
\)
(\(K=Kopf, Z=Zahl\))
(\(B=Blau, G=Grün, R=Rot\))
Aufgabe 3
a)
\(
P(E_1) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25\%
\)
b)
\(
P(E_2) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%
\)
c)
\(
P(E_3) = \frac{20}{32} = \frac{5}{8} = 0.625 = 62.5\%
\)
d)
\(
P(E_4) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0.125 = 12.5\%
\)
Aufgabe 4
a)
\(
P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167 = 16.7\%
\)
b)
\(
P(E_2) = \frac{11}{36} \approx 0.306 = 30.6\%
\)
c)
\(
P(E_3) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0.417 = 41.7\%
\)
d)
\(
P(E_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167 = 16.7\%
\)
Aufgabe 5
a)
Bernoulli: Ja, es gibt zwei Ausgänge (Herz und Kein Herz).
Laplace: Nein, da beide Ausgänge nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Laplace: Nein, da beide Ausgänge nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
b)
Bernoulli: Nein, da es mehr als zwei Ausgänge gibt.
Laplace: Ja, da jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
Laplace: Ja, da jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
c)
Bernoulli: Ja, da es zwei Ausgänge gibt.
Laplace: Nein, da \( P(X \leq 2) < P(X > 2) \).
Laplace: Nein, da \( P(X \leq 2) < P(X > 2) \).
d)
Bernoulli: Nein, da es drei Ausgänge gibt.
Laplace: Ja, da alle Felder gleichgroß sind und daher die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten besitzen.
Laplace: Ja, da alle Felder gleichgroß sind und daher die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten besitzen.
e)
Bernoulli: Ja, da es zwei Ausgänge gibt.
Laplace: Nein, da \( P(S) > P(W) \).
Laplace: Nein, da \( P(S) > P(W) \).
f)
Bernoulli: Nein, da es insgesamt zehn Ausgänge gibt.
Laplace: Ja, da jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
Laplace: Ja, da jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
g)
Bernoulli: Nein, da es insgesamt vier Ausgänge gibt.
Laplace: Ja, da alle Seiten gleich groß sind und daher die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten besitzen.
Laplace: Ja, da alle Seiten gleich groß sind und daher die gleiche Wahrscheinlichkeit für das Eintreten besitzen.
h)
Bernoulli: Nein, da es insgesamt drei Ausgänge gibt. (Schwarz, Rot, Grün)
Laplace: Nein, da es aufgrund des Feldes 0 (grün) nicht gleich wahrscheinlich ist.
Laplace: Nein, da es aufgrund des Feldes 0 (grün) nicht gleich wahrscheinlich ist.
Aufgabe 6
a)
\(
P(X \geq 11) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0.083 = 8.3\%
\)
b)
\(
P(\text{gleiche Zahl}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.167 = 16.7\%
\)
c)
\(
P(\text{durch 3 teilbar}) = \frac{16}{49} \approx 0.327 = 32.7\%
\)
d)
\(
P(\text{Primzahl}) = \frac{15}{49} \approx 0.306 = 30.6\%
\)
e)
\(
P(16.\text{Juni}) = \frac{1}{365} \approx 0.0027 = 0.27\%
\)