Aufgaben zu diskreten Zufallsvariablen

Aufgabe 1

a)
\( \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Gewinn } k \text{ in €} & \text{Wahrscheinlichkeit } P(X = k) \\ \hline -1 & \frac{2}{3} \\ \hline 1 & \frac{4}{15} \\ \hline 4 & \frac{1}{15} \\ \hline \end{array} \)

b)
\( G(X) = (-1) \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \frac{4}{15} + 4 \cdot \frac{1}{15} = -\frac{2}{15} \approx -0.1333 \)

Da für die spielende Person ein Verlust zu erwarten ist, kann das Spiel nicht als fair bezeichnet werden.

c)
Da der zu erwartende Verlust mehr als zwei Nachkommastellen besitzt, kann der Setzbetrag nicht so geändert werden, dass das Spiel zu einem fairen Spiel wird. Ein Setzbetrag von 0,87€ würde noch immer den Anbieter bevorzugen, während ein Setzbetrag von 0,86€ die spielende Person bevorzugen würde.

d)
Wird ein weißes Feld zu einem roten Feld umgewandelt:

\( \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Gewinn } k \text{ in €} & \text{Wahrscheinlichkeit } P(X = k) \\ \hline -1 & \frac{9}{15} \\ \hline 1 & \frac{1}{3} \\ \hline 4 & \frac{1}{15} \\ \hline \end{array} \)

Der zu erwartende Gewinn lautet in dem Fall \( G(X) = 0 \), sodass es sich bei dem Spiel um ein faires Spiel handelt.

Aufgabe 2

a)
Das Spiel aus der Sicht des Spielers Jiyan:

\( \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Augensumme} & \text{Gewinn } k \text{ in €} & \text{Wahrscheinlichkeit } P(X = k) \\ \hline 1 & -1 & \frac{1}{6} \\ \hline 2 & 2 & \frac{1}{6} \\ \hline 3 & 3 & \frac{1}{6} \\ \hline 4 & -4 & \frac{1}{6} \\ \hline 5 & 5 & \frac{1}{6} \\ \hline 6 & -6 & \frac{1}{6} \\ \hline \end{array} \)

\( G(X) = -1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + (-4) \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + (-6) \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \approx -0.167 \)

Das Spiel kann daher nicht als fair bezeichnet werden.

b)
\( G(X) = 0 \)
sodass das Spiel in dem Fall als fair bezeichnet werden kann.

Aufgabe 3

a)
(i) Die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Spiele gewonnen werden,
(ii) Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2 Spiele gewonnen werden.
(iii) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 Spiele gewonnen werden.
(iv) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 und höchstens 6 Spiele gewonnen werden.

b)
(i) \( P(X > 4) \approx 0.37 \)
(ii) \( P(X \geq 10) \approx 0.0026 \)

Aufgabe 4

a)
\( \mu = 300 \cdot 0.02 = 6 \)

b)
Der Termin gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass in einer Bestellung von 200 Schrauben mindestens 199 Schrauben keine Ausschussware sind bzw. maximal eine Schraube Ausschussware ist.

c)
(i) \( P(X \geq 20) \approx 0.531 \)
(ii) \( P(X > 1) \approx 0.19 \)
(iii) \( P(X < 15) \approx 0.919 [/latex]
(iv) [latex] P(10 \leq X \leq 30) \approx 0.76 \)

Aufgabe 5

a)
\( P(X = 50) \approx 0.058 \)

b)
\( \mu = 1000 \cdot 0.05 = 50 \)

c)
\( P(X > 2) \approx 0.882 \)

d)
\( P(X \leq 14) \approx 0.922 \)

e)
\( P(X > 5) \leq 0.5 \quad \Rightarrow \quad p \approx 0.0113 \)

Aufgabe 6

a)
Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass von 300 Plätzen mindestens 299 verkauft werden.

b)
\( P(X \geq 285) \approx 0.568 \)

c)
\( p_{neu} = P(X > 290) \approx 0.065 \)
\( P(Y \geq 1) \approx 0.183 \)

d)
\( P(Z \leq 119) \approx 0.478 \)

e)
\( P(Z \leq x) > 0.95 \quad \rightarrow \quad x = 113 \)

Aufgabe 7

a)
\( P(X \geq 1) \approx 0.359 \)

b)
\( \mu = n \cdot p \quad \rightarrow \quad 1 = n \cdot \frac{1}{23} \quad \rightarrow \quad n = 23 \)

c)
\( P(X \geq 1) \geq 0.9 \quad \rightarrow \quad n \geq 52 \)

d)
Es gibt weiterhin zwei Ausgänge (Sonderbild und kein Sonderbild) und ein Zufallsexperiment, das unter gleichen Bedingungen wiederholt werden kann.

e)
\( 3000 \cdot 23 = 69000 \, \text{Spielerbilder} \)

Die Wahrscheinlichkeit pro Durchgang ein Sonderbild zu ziehen beträgt demnach

\( p = \frac{x}{69000 + x} \)

\( P(Y \geq 1) \leq 0.05 \quad \rightarrow \quad x \leq 35 \)

Aufgabe 8

a)
\( P(X = 95) \approx 0.0077 \)

b)
\( P(X > 95) \approx 0.436 \)

c)
\( P(X \leq 95) \geq 0.8 \quad \rightarrow \quad n \leq 98 \)