Substitution
\( 0 = ax^4 + bx^2 + c \)
Dieses Löseverfahren wird immer dann angewandt, wenn eine Zahl, ein \( x^4 \)- und ein \( x^2 \)-Ausdruck in der Gleichung vorhanden sind. Das Löseverfahren beruht auf der PQ-Formel bzw. der Mitternachtsformel.
Hinweis: In diesem Beispiel wird die Substitution mit der PQ-Formel durchgeführt. Alternativ kann analog dazu die Mitternachtsformel angewandt werden.
\( 0 = 4x^4 - 8x^2 - 12 \)
Wir setzen \( x^2 = z \). Daraus ergibt sich:
\( 0 = 4z^2 - 8z - 12 \quad |: 4 \)
\( 0 = z^2 - 2z - 3 \quad |pq \)
\( p = -2 \quad q = -3 \)
\( z_{1,2} = -\frac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{(-2)}{2}\right)^2 - (-3)} \)
\( z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} \)
\( z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{4} \)
\( z_{1,2} = 1 \pm 2 \)
\( z_1 = 1 + 2 \quad \rightarrow \quad z_1 = 3 \)
\( z_2 = 1 - 2 \quad \rightarrow \quad z_2 = -1 \)
Die berechneten Lösungen werden jetzt in \( x^2 = z \) wieder eingesetzt:
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{z_1} \quad \rightarrow \quad x_{1,2} = \pm \sqrt{3} \quad \rightarrow \quad x_1 \approx 1,73 \, \text{oder} \, x_2 \approx -1,73 \)
\( x_{3,4} = \pm \sqrt{z_2} \quad \rightarrow \quad x_{3,4} = \pm \sqrt{-1} \quad \rightarrow \quad \text{keine Lösung} \)