Begrenztes Wachstum / Begrenzte Abnahme
Im Gegensatz zum unbegrenztem Wachstumsmodell handelt es sich bei dem begrenzten Wachstum bzw. der begrenzten Abnahme um einen mit der Zeit abnehmenden exponentiellen Verlauf. Die Funktion strebt gegen einen Wert \( S \), den die Funktion jedoch nie genau erreichen wird. Dieser Wert \( S \), die Asymptote, wird als Sättigungsmenge bezeichnet. Ganz allgemein gilt:
Begrenzte Abnahme
Begrenzte Zunahme
- \( f(t) \): Mengenbestand zum Zeitpunkt \( t \)
- \( t \): Zeitvariable
- \( S \): Sättigungsmenge
- \( a \): Sättigungskonstante
- \( k \): Proportionalitätskonstante
Bei dieser Wachstumsart wird die exponentielle Zu- oder Abnahme begrenzt. Der Wert, der pro Schritt zum Bestand addiert oder subtrahiert wird, nimmt mit der Zeit stetig ab. Dies wird sichergestellt, indem die Proportionalitätskonstante stets negativ ist. Auf diese Weise läuft die Funktion gegen die Sättigungsmenge.
Beispiel:
Ein Glas Milch mit einer Temperatur von 18°C wird in einen 6°C kalten Kühlschrank gestellt. Nach 2 Stunden wird bei der Milch eine Temperatur von 12°C gemessen.
a) Bestimme die zugrunde liegende Exponentialfunktion.
Alle bekannten Parameter einsetzen:
Die Proportionalitätskonstante \( k \) lässt sich aus der Information \( f(2) = 12 \) bestimmen:
b) Welche Temperatur hat die Milch nach 5 Stunden?
Antwort: Nach 5 Stunden hat die Milch eine Temperatur von ungefähr 8,12°C.
c) Wann erreicht die Milch eine Temperatur von 6,5°C?
Antwort: Die Milch erreicht eine Temperatur von 6,5°C nach 9,17 Stunden. Dies entspricht einer Zeit von 9 Stunden und 10 Minuten.
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