Aufgabe 3 – Grundlegendes Anforderungsniveau
Die Firma „EazyWin" hat sich ein neues Logo entwerfen lassen. Es soll den Buchstaben „W" zeigen. Statt einer kantigen Darstellung des Buchstabens hat man sich für eine schwungvolle Darstellung entschieden. Die Abbildung 1 zeigt den Entwurf für das neue Logo. Der untere Rand des Logos kann durch die Funktion
a) Begründe, dass die Funktion \(f(x)\) achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Die Firmenleitung hat der Marketingabteilung für die Erstellung des Logos zwei Vorgaben gegeben:
- Der horizontale Abstand zwischen den unteren Bögen des Buchstabens soll maximal \(8\,\text{cm}\) betragen.
- Der vertikale Abstand zwischen den unteren Bögen und dem oberen Bogen soll mindestens \(5\,\text{cm}\) betragen.
Überprüfe, ob die Funktion die beiden Bedingungen erfüllt.
Hinweis: In Abbildung 1 ist der vertikale und horizontale Abstand skizziert.
Der obere Rand des Logos soll durch eine Funktion \(g(x)\) beschrieben werden, wobei \(x\) und \(g(x)\) in cm, \(-6 \leq x \leq 6\). Bei der Funktion handelt es sich um eine Funktion vierten Grades, die achsensymmetrisch ist. An den Stellen \(x = -4\) und \(x = 4\) besitzt sie jeweils einen Tiefpunkt. Die Funktion schneidet die y-Achse bei 9 und geht durch den Punkt (4|5).
b) Bestimme die Funktion \(g(x)\), die den oberen Rand des Logos beschreibt. (Zur Kontrolle: \(g(x) = \frac{1}{64}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 9\))
Zeige, dass die vertikale Dicke des Logos durch die Funktion
und \(d(x)\) in cm, beschrieben werden kann.
Bestimme die vertikale Dicke des Logos an den äußeren Rändern.
Berechne die Stelle des Logos, an der die vertikale Dicke minimal ist. Gib die zugehörige Dicke an.
Für die Präsentation soll das Logo der Firma auf einem rechteckigen Hintergrund präsentiert werden. Bestimme die Maße des rechteckigen Hintergrundes, die mindestens benötigt werden, damit das Logo vollständig abgebildet werden kann.
Gegeben ist der Term
Interpretiere den Term im Sachzusammenhang.
Zur Einweihung des neuen Logos hat sich der Firmenchef eine ganz besondere Idee einfallen lassen. Vor dem Hauptsitz der Firma soll das neue Logo als große Skulptur enthüllt werden. Der Chef hat sich dafür entschieden, dass die Skulptur aus Bronze gegossen werden soll und eine Tiefendicke von 50cm besitzen soll. Für das Bronze muss pro Liter 14,-€ bezahlt werden.
c) Begründe, dass die Funktion
dem unteren Rand des Logos beschreibt, wenn die Skulptur auf einem Sockel der Höhe von \(3,75\,\text{m}\) steht.
Für die Skulptur beschreibt die Funktion
den oberen Rand des Logos.
Bestimme die Materialkosten für die Bronzeskulptur.
Hinweis: \(1 \, \text{Liter} = 1 \, \text{dm}^3\)
Lösung
Aufgabenteil a)
1. Achsensymmetrie: alle Exponenten sind gerade (alternativ \( f(x) = f(-x) \))
2. Horizontaler Abstand = Differenz der x-Werte der Tiefpunkte:
Tiefpunkte bei \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \), Differenz: \( 4 - (-4) = 8 \).
Vertikaler Abstand = Differenz der y-Werte zwischen Tief- und Hochpunkte:
\( HP(0|5.33), TP_1(-4|0), TP_2(4|0) \)
Differenz: \( 5.33 - 0 = 5.33 \)
Aufgabenteil b)
1.
2. vertikale Dicke:
3.
4. \( TP(0|3.67) \), aber: Das Logo weist an den Rändern bei \( x = -6 \) und \( x = 6 \) eine kleinere vertikale Dicke als im Tiefpunkt auf mit \( d(-6) = d(6) \approx 2.92 \, \text{cm} \)
5. Breite: \( 6 + 6 = 12 \, \text{cm} \); Höhe: \( g(-6) = g(6) = 11.25 \, \text{cm} \)
A: Man benötigt die Maße 12 cm × 11.25 cm.
6. Das Integral beschreibt die Fläche, die von den beiden Funktionen eingeschlossen wird. Somit wird mit diesem Term die Gesamtfläche des Logos berechnet.
Aufgabenteil c)
1. \( h(x) \) verläuft parallel zu \( f(x) \), wobei \( h(x) \) im Vergleich zu \( f(x) \) um den Wert von 3.75 nach oben verschoben wurde, was der Höhe des Sockels entspricht.
2.