Symmetrieverhalten
Unter der Symmetrie versteht man die Eigenschaft einer Funktion, die entweder an einer Achse oder einem Punkt gespiegelt wird. Insgesamt unterscheiden wir in der Schule zwischen drei möglichen Symmetriefällen:
Achsensymmetrie
Punktsymmetrie
keine Symmetrie
Welche Art der Symmetrie vorliegt, kann bereits an den Exponenten einer Funktion erkannt werden. Jedoch muss die Symmetrie immer rechnerisch nachgewiesen werden. Allgemein gilt:
Achsensymmetrie
Formel: \( f(x) = f(-x) \)
• Die Funktion hat nur gerade Exponenten
• z.B. \( f(x) = 2x^4 - x^2 + 1 \)
Punktsymmetrie
Formel: \( f(-x) = -f(x) \)
• Die Funktion hat nur ungerade Exponenten
• z.B. \( f(x) = 2x^3 - x \)
Beispiel 1
Untersuche die Funktion \( f(x) = -x^3 + 2x \) auf eine mögliche Symmetrie.
Die Funktion besitzt nur ungerade Exponenten. Daher wissen wir bereits, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Dennoch muss dieses Wissen noch rechnerisch bewiesen werden. Es gilt also zu zeigen: \( f(-x) = -f(x) \)
Auf diesem Weg haben wir nun gezeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Eine Untersuchung auf Achsensymmetrie muss hier nicht mehr erfolgen.
Beispiel 2
Untersuche die Funktion \( f(x) = -2x^4 + x^2 - 3 \) auf eine mögliche Symmetrie.
Die Funktion besitzt nur gerade Exponenten. Daher wissen wir bereits, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Dennoch muss dieses Wissen noch rechnerisch bewiesen werden. Es gilt also zu zeigen: \( f(x) = f(-x) \)
Auf diesem Weg haben wir nun gezeigt, dass die Funktion achsensymmetrisch ist. Eine Untersuchung auf Punktsymmetrie muss hier nicht mehr erfolgen.
Beispiel 3
Untersuche die Funktion \( f(x) = x^3 + 2x^2 \) auf eine mögliche Symmetrie.
Die Funktion besitzt sowohl gerade als auch ungerade Exponenten. Daher wissen wir bereits, dass die Funktion keine Symmetrie aufweist. Dennoch muss dieses Wissen noch rechnerisch bewiesen werden. Es gilt also zu zeigen: \( f(x) \neq f(-x) \) und \( f(-x) \neq -f(x) \).
Untersuchung auf Achsensymmetrie:
Auf diesem Weg haben wir nun gezeigt, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch ist.
Untersuchung auf Punktsymmetrie:
Auf diesem Weg haben wir nun gezeigt, dass die Funktion nicht punktsymmetrisch ist.
Somit haben wir gezeigt, dass keine Symmetrie vorliegt.