Binomialverteilung
Eine Binomialverteilung ist eine n-malige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments. Wichtig ist dabei, dass das Bernoulli-Experiment stets unter den gleichen Bedingungen wiederholt wird und die Erfolgswahrscheinlichkeit in den Durchgängen unverändert bleibt. Im Allgemeinen gilt für eine Binomialverteilung:
- \( n \): Anzahl der Wiederholungen
- \( p \): Erfolgswahrscheinlichkeit
- \( k \): Anzahl der Erfolge
Wichtig:
- Der Binomialkoeffizient \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) gibt die Kombinationsmöglichkeiten für k-Erfolge aus einer n-elementigen Menge an. Er berechnet somit die Anzahl der Pfade mit \( k \) Erfolgen in einem \( n \)-stufigen Baumdiagramm.
- Der Term \( p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \) gibt die Wahrscheinlichkeit eines Treffers beliebiger Reihenfolge an. Er berechnet somit einen beliebigen Pfad im Baumdiagramm mit \( k \) Erfolgen und \( n - k \) Misserfolgen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
- Erwartungswert: \( \mu = n \cdot p \)
- Varianz: \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \)
- Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} \)
Taschenrechner-Befehle
Die Berechnung einer Binomialverteilung erfolgt entweder algebraisch oder mithilfe des Taschenrechners. Die Befehle unterscheiden sich dabei je nach Taschenrechner:
-
„genau k Erfolge“
\( P(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \) -
„höchstens k Erfolge“
\( P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \) -
„mindestens k Erfolge“
\( P(X \geq k) = \sum_{i=k}^{n} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \)
-
„genau k Erfolge“
\( P(X = k) = binompdf(n, p, k) \) -
„höchstens k Erfolge“
\( P(X \leq k) = binomcdf(n, p, k) \) -
„mindestens k Erfolge“
\( P(X \geq k) = 1 - binomcdf(n, p, k - 1) \)
-
„genau k Erfolge“
\( P(X = k) = binompdf(n, p, k) \) -
„höchstens k Erfolge“
\( P(X \leq k) = binomcdf(n, p, 0, k) \) -
„mindestens k Erfolge“
\( P(X \geq k) = binomcdf(n, p, k, n) \)
-
„genau k Erfolge“
\( P(X = k) = binomialPDF(k, n, p) \) -
„höchstens k Erfolge“
\( P(X \leq k) = binomialCDF(0, k, n, p) \) -
„mindestens k Erfolge“
\( P(X \geq k) = binomialCDF(k, n, n, p) \)
-
„genau k Erfolge“
\( P(X = k) = binomialPD(k, n, p) \) -
„höchstens k Erfolge“
\( P(X \leq k) = binomialCD(0, k, n, p) \) -
„mindestens k Erfolge“
\( P(X \geq k) = binomialCD(k, n, n, p) \)
Beispiele:
In einer Fabrik werden Bausteine produziert, von denen im Schnitt 6% fehlerhaft sind. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... von 20 Bausteinen genau 2 defekt sind.
Algebraisch:
TI-84-Plus:
TI-NSPIRE CX CAS:
CASIO fx-CP400:
CASIO fx-CG50:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 22,5%, dass 2 von 20 Bausteinen defekt sind.
b) ... von 20 Bausteinen mindestens 1 defekt sind.
Algebraisch:
TI-84-Plus:
TI-NSPIRE CX CAS:
CASIO fx-CP400:
CASIO fx-CG50:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 71%, dass mindestens 1 von 20 Bausteinen defekt ist.
c) ... von 500 Bausteinen mindestens 20 defekt sind.
TI-84-Plus:
TI-NSPIRE CX CAS:
CASIO fx-CP400:
CASIO fx-CG50:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 98,1%, dass mindestens 20 Bausteine defekt sind.
d) ... von 350 Bausteinen weniger als 15 defekt sind.
TI-84-Plus:
TI-NSPIRE CX CAS:
CASIO fx-CP400:
CASIO fx-CG50:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 6,6%, dass weniger als 15 Bausteine defekt sind.
e) ... von 100 Bausteinen zwischen 5 und 10 defekt sind.
TI-84-Plus:
TI-NSPIRE CX CAS:
CASIO fx-CP400:
CASIO fx-CG50:
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 68,6%, dass zwischen 5 und 10 Bausteinen defekt sind.
Besondere Aufgabentypen
Im vorangegangenen Kapitel wurden klassische Aufgabenstellungen betrachtet, in denen die Gesamtwahrscheinlichkeit \( P(X) \) zu ermitteln war. Nun sollen drei besondere Aufgabentypen betrachtet werden. In diesen ist stets die Gesamtwahrscheinlichkeit \( P(x) \) gegeben und es ist eine der folgenden Größen gesucht:
- Anzahl der Wiederholungen (\( n \))
- Anzahl der Erfolge (\( k \))
- Erfolgswahrscheinlichkeit pro Durchgang (\( p \))
Das Besondere an dieser Aufgabe ist, dass \( n \) nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Daher kann für das Lösen der Aufgabe kein Befehl zum Lösen von Gleichungen verwendet werden.
- Gegebene Daten aus dem Aufgabentext notieren
- Den entsprechenden binom-Befehl als Funktion eintragen und an der Stelle von \( n \) die Variable \( x \) verwenden
- Die Wertetabelle der Funktion anzeigen lassen. Gesucht ist nun der Wert für \( x \), bei dem die vorgegebene Gesamtwahrscheinlichkeit erreicht wird
Ein Hotel wird in der Saison vollgebucht. Insgesamt stehen dem Hotel 95 Zimmer zur Verfügung. Aus den letzten Jahren weiß man, dass ein Gast eine Buchung zu 10% storniert.
Bestimme die Anzahl der Buchungen, die das Hotel annehmen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% alle Zimmer belegt sind.
Schritt 1: Die gegebenen Daten aus dem Aufgabentext werden notiert:
- \( p = 0.9 \) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Hotelgast seine Buchung wahrnimmt)
- \( k \geq 95 \) (Es sollen mindestens 95 Buchungen angetreten werden, damit alle Zimmer belegt sind)
- \( P(X \geq 95) \geq 0.5 \) (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 95 Buchungen angetreten werden, beträgt mindestens 50%)
Schritt 2: Es wird der entsprechende binom-Befehl als Funktion eingetragen. An der Stelle von \( n \) wird die Variable \( x \) verwendet:
- TI-84-Plus: \( y_1 = 1 - binomcdf(x, 0.9, 94) \)
- TI-NSPIRE CX CAS: \( y_1 = binomCdf(x, 0.9, 95, x) \)
- CASIO fx-CP400: \( y_1 = binomialCDF(95, x, x, 0.9) \)
- CASIO fx-CG50: \( y_1 = binomialCD(95, x, x, 0.9) \)
Schritt 3: Es wird die Wertetabelle der Funktion betrachtet. Gesucht ist nun der Wert für \( x \), bei dem die vorgegebene Gesamtwahrscheinlichkeit von 0.9 erreicht wird:
Aus der Wertetabelle ist abzulesen, dass bei einer Buchungszahl von 105 eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% erreicht wird, dass mindestens 95 Buchungen angetreten werden.
Anzahl der Erfolge (\( k \))Wie bereits zuvor ist das Besondere an dieser Aufgabe, dass \( k \) nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Daher kann für das Lösen der Aufgabe kein Befehl zum Lösen von Gleichungen verwendet werden.
Gesucht: Anzahl der Erfolge (\( k \))
- Gegebene Daten aus Aufgabentext notieren
- Den entsprechenden binom-Befehl als Funktion eintragen und an der Stelle von \( k \) die Variable \( x \) verwenden
- Die Wertetabelle der Funktion anzeigen lassen. Gesucht ist nun der Wert für \( x \), bei dem die vorgegebene Gesamtwahrscheinlichkeit erreicht wird
Frau Beyer möchte in ihrer Klasse einen Single-Choice-Test schreiben. Sie stellt insgesamt 25 Fragen mit vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Sie will verhindern, dass man nur durch Raten den Test besteht. Wie viele richtige Antworten muss sie mindestens verlangen, damit man den Test durch Raten der Antworten maximal zu 5% besteht?
Schritt 1: Die gegebenen Daten aus dem Aufgabentext werden notiert:
- \( p = 0.25 \) (Wahrscheinlichkeit, dass eine Frage durch Raten richtig beantwortet wird)
- \( n = 25 \) (Es werden 25 Fragen gestellt)
- \( P(X \geq k) \leq 0.05 \) (Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(k\) Fragen richtig beantwortet werden, darf maximal 5% betragen)
Schritt 2: Es wird der entsprechende binom-Befehl als Funktion eingetragen. An der Stelle von \(k\) wird die Variable \(x\) verwendet:
- TI-84-Plus: \( y_1 = 1 - binomcdf(25, 0.25, x - 1) \)
- TI-NSPIRE CX CAS: \( y_1 = binomcdf(25, 0.25, x) \)
- CASIO fx-CP400: \( y_1 = binomialCDF(x, 25, 25, 0.25) \)
- CASIO fx-CG50: \( y_1 = binomialCDF(x, 25, 25, 25) \)
Schritt 3: Es wird die Wertetabelle der Funktion betrachtet. Gesucht ist nun der Wert für \(x\), bei dem die vorgegebene Gesamtwahrscheinlichkeit von 0,05 nicht mehr überschritten wird:
Aus der Wertetabelle ist abzulesen, dass Frau Beyer mindestens 11 richtige Antworten verlangen muss, damit der Test zu maximal 5% durch Raten der Antworten bestanden wird.
Erfolgswahrscheinlichkeit pro Durchgang (\(p\))Anders als in den vorherigen beiden Aufgaben, kann \(p\) jeden Wert zwischen 0 und 1 annehmen. Daher lässt sich diese Aufgabe mit den entsprechenden Befehlen zum Lösen von Gleichungen lösen.
- Gegebene Daten aus Aufgabentext notieren
- Den entsprechenden binom-Befehl als Funktion eintragen und an der Stelle von \(p\) die Variable \(x\) verwenden
- Funktion für \(0 \leq x \leq 1\) zeichnen lassen und x-Wert ermitteln. Dabei entspricht die Gesamtwahrscheinlichkeit dem y-Wert.
Alternativ: Statt als Funktion verwendet man den solve-Befehl und löst die Gleichung.
Bananen können durch langes Lagern matschig werden. Wie hoch darf der Anteil matschiger Bananen höchstens sein, damit bei einer Stichprobe von 500 Bananen höchstens 10 Bananen zu maximal 90% matschig sind?
Schritt 1: Gegebene Daten aus Aufgabentext notieren:
- \( n = 500 \) (Es wird eine Stichprobe von 500 Bananen betrachtet)
- \( P(X \leq 10) \leq 0,9 \) (Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 Bananen matschig sind, darf maximal 90% betragen)
Schritt 2: Es wird der entsprechende binom-Befehl als Funktion eingetragen. An der Stelle von \(p\) wird die Variable \(x\) verwendet:
- TI-84-Plus: \( y_1 = binomcdf(500, x, 10) \)
- TI-NSPIRE CX CAS: \( y_1 = binomCdf(500, x, 0, 10) \)
- CASIO fx-CP400: \( y_1 = binomialCDF(0, 10, 500, x) \)
- CASIO fx-CG50: \( y_1 = binomialCD(0, 10, 500, x) \)
Schritt 3: Funktion für \(0 \leq x \leq 1\) zeichnen lassen und x-Wert ermitteln. Dabei entspricht die Gesamtwahrscheinlichkeit dem y-Wert:
Die Funktion wird im Grafik-Fenster des Taschenrechners gezeichnet. Nun soll der x-Wert zu dem y-Wert 0,9 bestimmt werden:
Der Anteil matschiger Bananen darf daher maximal 1,41% betragen.