Trassierung
Eine Trasse bezeichnet einen Weg zwischen zwei Orten bzw. Strecken. Bei der Trassierung wird verlangt, mathematisch zwei Funktionen durch eine dritte Funktion zu verbinden. Von dieser Verbindung wird verlangt, dass sie sprungfrei, knickfrei und (eventuell) krümmungsruckfrei ist. Allgemein gilt:
- Sprungfrei: Verbindungsfunktion berührt beide Funktionen
- Knickfrei: Verbindungsfunktion besitzt in den Übergangspunkten dieselbe Steigung
- Krümmungsruckfrei: Verbindungsfunktion besitzt an den Übergangspunkten dasselbe Krümmungsruck wie die Funktionen.
Ganz allgemein bedeutet das zum Aufstellen der mathematischen Bedingungen:
Gesucht: Eine Funktion \( f(x) \), die zwei Funktionen \( g(x) \) und \( h(x) \) an den Stellen \( x_1 \) und \( x_2 \) miteinander verbindet
Sprungfrei:
Knickfrei:
Krümmungsruckfrei:
Eine Trassierungsaufgabe wird ähnlich wie die Steckbriefaufgaben nach bestimmten Schritten gelöst:
Gesucht: Zwei Funktionen sollen miteinander verbunden werden
- Aufgabenstellung skizzieren (sofern keine Skizze vorliegt)
- Aufgabentext lesen und Skizze betrachten
➔ Welchen Grad besitzt die Funktion?
➔ Liegt eine Symmetrie vor? - Bedingungen aufstellen
- Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen notieren
- Bedingungen einsetzen und ein LGS aufstellen
- LGS lösen
- Funktionsgleichung aufstellen
Beispiel:
Die Straße A verläuft zwischen den Punkten \( A_1(-6| -1) \) und \( A_2(-2| -1) \). Die Straße B verläuft zwischen den Punkten \( B_1(2|2) \) und \( B_2(5|5) \). Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades, die die beiden Straßenstücke sprung-, knick- und krümmungsrückfrei miteinander verbindet.
Schritt 1: Aufgabenstellung skizzieren
Schritt 2: Aufgabentext lesen und Skizze betrachten
Welchen Grad besitzt die Funktion? → Grad 5
Liegt eine Symmetrie vor? → Der Text und auch die Skizze zeigen keine Symmetrie
Schritt 3: Informationen aus dem Text und der Skizze schreiben und Bedingungen aufstellen:
Aus der Skizze und dem Text ergibt sich, dass die Straße A durch die Funktion \( g(x) = -1 \) und die Straße B durch die Funktion \( h(x) = x \) beschrieben werden kann. Die Übergangsstellen befinden sich bei \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 2 \).
Sprungfrei
Knickfrei:
Krümmungsrückfrei:
Schritt 4: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen notieren:
Schritt 5: Bedingungen in Funktion oder jeweilige Ableitung einsetzen und ein Lineares Gleichungssystem aufstellen:
Schritt 6: Lineares Gleichungssystem lösen. Entweder wendet man an dieser Stelle eines der vorgestellten Löseverfahren aus Kapitel 10 an oder aber, je nach Operator, löst man das Gleichungssystem mithilfe des Taschenrechners:
\( a = 0,006,\quad b = -0,008,\quad c = -0,078,\quad d = 0,188,\quad e = 0,969,\quad f = -0,125 \)
Schritt 7: Funktionsgleichung aufstellen: