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Aufgaben

Aufgabe 1

Gegeben seien die Punkte \(A(0|0|0), B(8|0|0), H(0|4|5)\) und \( P(8|2|7) \). Bestimme alle weiteren Punkte des unten zusehenden symmetrischen Körpers.

Symmetrischer Körper mit eingezeichneten Punkten A, B, H, P, E, Q, F, G, D, C

Aufgabe 2

Gegeben seien die Punkte \( A(5|2|-4) \), \( B(0|2|3) \), \( C(-3|3|-3) \) und \( D(4|2|-2) \).

a)
Bestimme alle möglichen Ortsvektoren.
b)
Bestimme die Richtungsvektoren \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BD} \) und \( \overrightarrow{CD} \).
c)
Bestimme die Länge der Vektoren \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{BD} \) und \( \overrightarrow{CD} \).

Aufgabe 3

Gegeben seien die Punkte \( A(2|2|-2) \), \( B(4|1|2) \), \( C(8|5|1) \).

a)
Zeige, dass das Dreieck \( \Delta ABC \) rechtwinklig ist.
b)
Untersuche, ob das Dreieck gleichschenklig ist.
c)
Bestimme einen Punkt \( D \) so, dass das Viereck \( ABCD \) ein Rechteck ergibt.
d)
Bestimme den Mittelpunkt \( P \) der Rechteckfläche.

Aufgabe 4

Ein Flugzeug befindet sich in einem Punkt \( P(37|54|244) \) und fliegt zu einem Punkt \( Q(82|49|194) \) mit einer konstanten Geschwindigkeit von \( 450 \, \frac{km}{h} \). \( (1 \, LE = 1 \, km) \)

a)
Bestimme die Zeit, die das Flugzeug für die Strecke von P zu Q benötigt.
b)
Angenommen das Flugzeug fliegt vom Punkt P aus in dieselbe Richtung mit einer Geschwindigkeit von \( 90 \, \frac{km}{h} \). Ermittle den neuen Punkt \( Q' \), den das Flugzeug nach der ermittelten Zeit aus a) dann erreicht.

Lösungen

Aufgabe 1

\( C(8|4|0), \; D(0|4|0), \; E(0|0|5), \; F(8|0|5), \; G(8|4|5), \; Q(0|2|7) \)

Aufgabe 2

a)

\( \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \)

b)

\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}, \; \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

c)

\( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{74}, \; |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{46}, \; |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{66}, \; |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{41}, \; |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{51} \)

Aufgabe 3

a)

\( \overrightarrow{BC} * \overrightarrow{BA} = 4 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-4) = 0 \)

b) Da \( |\overrightarrow{AC}| \neq |\overrightarrow{BC}| \neq |\overrightarrow{BA}| \) gilt, ist das Dreieck nicht gleichschenklig.

c)

\( \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{BA} \quad \rightarrow \quad D(6|6|-3) \)

d) \( M(5|3{,}5|-0{,}5) \)

Aufgabe 4

a)

\( |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4550} \approx 67{,}45 \)

Da er 450 km in 60 Minuten schafft, schafft er 67,45 km in etwa 9 Minuten.

b)

\( 90 \, \frac{km}{h} \text{ sind } \frac{1}{5} \text{ von } 450 \, \frac{km}{h} \)
\( \overrightarrow{OQ'} = \overrightarrow{OP} + \frac{1}{5} \cdot \overrightarrow{PQ} \quad \rightarrow \quad Q'(46|53|234) \)

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