Punktprobe
Mit der Punktprobe kann man prüfen, ob ein Punkt \( P \) Element einer Ebene \( E \) ist, also in der Ebene liegt.
Parameterform
Gesucht: Liegt ein Punkt \( P \) in einer Ebene \( E \)?
- Ortsvektor des Punktes \( P \) mit der Ebenengleichung gleichsetzen
- Jede Zeile als eigene Gleichung verstehen und Lineares Gleichungssystem aufstellen
- Lineares Gleichungssystem lösen
Beispiel:
Prüfe, ob der Punkt \(P(3|4|8)\) in
liegt.
Schritt 1: Der Ortsvektor des Punktes \( P \) wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:
Schritt 2: Jede Zeile wird als eigene Gleichung verstanden und das Lineare Gleichungssystem aufgestellt:
Schritt 3: Das Lineare Gleichungssystem wird mithilfe des Taschenrechners gelöst:
In der letzten Zeile steht, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Die Punktprobe ist somit nicht erfüllt. Der Punkt \( P \) liegt daher nicht in der Ebene \( E \).
Koordinatenform
Gesucht: Liegt ein Punkt \( P \) in einer Ebene \( E \)?
- Die einzelnen Koordinaten des Punktes in die Koordinatenform für \( x_1, x_2, x_3 \) einsetzen
- Durch Ausrechnen wird überprüft, ob die Gleichung erfüllt ist
Beispiel:
Prüfe, ob der Punkt \( P(2|-3|2) \) in \( E: 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8 \) liegt.
Schritt 1: Die einzelnen Koordinaten des Punktes 2, -3 und 2 werden in die Koordinatenform für \( x_1, x_2 \) und \( x_3 \) eingesetzt:
Schritt 2: Durch Ausrechnen wird nun überprüft, ob die Gleichung erfüllt ist. Erhält man durch Ausrechnen auf der linken Seite ebenfalls den Wert 8 wie auf der rechten Seite, so ist die Punktprobe erfüllt:
Die Punktprobe ist erfüllt. In diesem Fall liegt der Punkt \( P \) in der Ebene \( E \).
Normalenform
Gesucht: Liegt ein Punkt \( P \) in einer Ebene \( E \)?
- Ortsvektor des Punktes \( P \) in die Normalenform für \( \vec{x} \) einsetzen
- Durch Ausrechnen wird überprüft, ob die Gleichung erfüllt ist
Beispiel:
Prüfe, ob der Punkt \( P(2|-3|2) \) in
liegt.
Schritt 1: Der Ortsvektor des Punktes \( P \) wird in die Normalenform für \( \vec{x} \) eingesetzt:
Schritt 2: Durch Ausrechnen wird nun überprüft, ob die Gleichung erfüllt ist. Erhält man durch Ausrechnen auf der linken Seite ebenfalls den Wert 0 wie auf der rechten Seite, so ist die Punktprobe erfüllt:
Die Punktprobe ist nicht erfüllt. In diesem Fall liegt der Punkt \( P \) nicht in der Ebene \( E \).
Die Punktprobe bei Ebenen gehört zu den häufigsten Aufgabentypen in der Oberstufe und im Abitur. Wer die Parameterform, Koordinatenform und Normalenform sicher beherrschen möchte, findet bei der Mathe-Nachhilfe von eazy learning die passende Unterstützung – individuell auf das eigene Niveau abgestimmt. Unsere Lehrer helfen dir gezielt weiter, ob vor Ort in Bremen, Oldenburg, Delmenhorst oder online.