Fläche zwischen zwei Funktionen
Ist nach der Fläche zwischen zwei Funktionen gefragt, so ergeben sich in der Regel die Grenzen für die Integration aus der Aufgabe heraus. Zumeist handelt es sich bei den Grenzen um direkte Vorgaben oder Schnittpunkte der beiden Funktionen.
Ganz allgemein gilt:
Gesucht: Fläche zwischen zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \)
- Grenzen der Funktion ermitteln (falls nicht gegeben)
- Differenzenfunktion \( d(x) \) durch \( f(x) - g(x) \) bilden
- Stammfunktion \( D(x) \) bilden (wobei \( C = 0 \))
- Stammfunktion und Grenzen in allgemeine Schreibweise einsetzen
Beispiel:
Gesucht wird die Fläche, die die Funktionen \( f(x) = -0,5x^2 + 3 \) und \( g(x) = 0,5x^2 - 1 \) mit der x-Achse einschließen.
Schritt 1: Grenzen der Funktion ermitteln:
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich, dass es sich bei den Grenzen um die Schnittpunkte der beiden Funktionen handelt:
Schritt 2: Differenzenfunktion \( d(x) \) durch \( f(x) - g(x) \) bilden:
Schritt 3: Stammfunktion bilden (wobei \( C = 0 \)):
Schritt 4: Stammfunktion und Grenzen in allgemeine Schreibweise einsetzen: