Aufgaben
Aufgabe 1
Aus einer Urne mit einer roten, drei blauen und vier grünen Kugeln werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Im Folgenden werden die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Aufgabe 2
In einer Klasse sind 10 Mädchen und 15 Jungen. Es werden nacheinander zwei Personen ausgewählt.
Aufgabe 3
Peter fährt in 80% der Fälle mit dem Bus zur Schule. In 90% der Fälle ist er damit pünktlich. An den Tagen, an denen er kein Bus nutzt, fährt er mit dem Fahrrad. Insgesamt erscheint er an 90% der Tage pünktlich zum Unterricht.
Aufgabe 4
In einer Klasse befinden sich 18 Personen. 15 dieser Personen sind in einem Verein. Ein Drittel der Personen aus einem Verein sind weiblich. Insgesamt gibt es sieben weibliche Personen in der Klasse.
Aufgabe 5
In einem Land ist 1% an HIV erkrankt. Ein Test zeigt bei einem Gesunden zu 98% an, dass er gesund ist. Bei einem Erkrankten hingegen zeigt er zu 95% an, dass er tatsächlich krank ist.
Aufgabe 6
In einer Urne sind 3 rote, 9 grüne und 3 weiße Kugeln. Es werden insgesamt zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Überprüfe, ob die Ereignisse „Es wird im ersten Zug eine rote Kugel gezogen." und „Als letztes wird eine weiße Kugel gezogen." unabhängig sind.
Aufgabe 7
Zur Feststellung einer neuartigen Erkrankung ist vom Unternehmen „AlphaTest" ein Testverfahren entwickelt worden. Die Sensitivität des Testverfahren ist vom Unternehmen mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% beziffert. Die Spezifität dagegen ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% angegeben. Insgesamt sind auf der Welt 0,5% an dieser Krankheit erkrankt. Alle Wahrscheinlichkeiten sind auf fünf Nachkommastellen zu runden.
Hinweis: Die Sensitivität gibt an, zu wie viel Prozent ein Test bei tatsächlich kranken die Krankheit auch erkennt. Die Spezifität dagegen gibt an, zu wie viel Prozent ein Test bei Gesunden diese auch als Gesunde einstuft.
Lösungen zu Wahrscheinlichkeitsrechnungs-Aufgaben
Aufgabe 1
Bei dem Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Durchgang. Während zuvor im zweiten Durchgang erneut acht Kugeln in der Urne vorhanden waren, sind im zweiten Durchgang ohne Zurücklegen nur sieben Kugeln in der Urne.
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Die beiden Ereignisse sind damit stochastisch unabhängig. Die Unabhängigkeit bedeutet in diesem Zusammenhang, dass das Verkehrsmittel keine Auswirkungen auf die Tatsache hat, ob Peter pünktlich ist oder nicht.
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
\(E_1\): „Es wird im ersten Zug eine rote Kugeln gezogen"
\(E_2\): „Als letztes wird eine weiße Kugel gezogen"
Die Ereignisse sind somit stochastisch unabhängig.
Aufgabe 7
Nach einem positiven Test ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass die getestete Person gesund ist, als dass sie krank ist. Die Aussagekraft ist daher nicht hoch einzuschätzen.
Sensitivität: \(P_K(p) = x\)
Somit gilt: \(P(K \cap p) = 0.005x\) und \(P(p) = 0.005x + 0.00995\)
Die Sensitivität soll so bestimmt werden, dass gilt \(P_p(K) > 0.5\)
Da die Wahrscheinlichkeit stets kleiner 1 sein muss, gibt es in diesem Fall keine Sensitivität, die dies sicherstellen kann.
Das Unternehmen erreicht das Ziel.