Das Additionsverfahren verfolgt das Ziel, dass nacheinander die Variablen eliminiert werden bis nur noch eine Gleichung mit einer Variablen existiert. Für das Additionsverfahren gelten drei Regeln:
- Jede Gleichung darf mit Zahlen, die nicht 0 sind, multipliziert werden
- Zwei Gleichungen dürfen stellenweise miteinander addiert oder subtrahiert werden
- Gleichungen dürfen beliebig untereinander vertauscht werden
Gesucht: LGS lösen mit dem Additionsverfahren
- Mithilfe der Regeln werden die Gleichungen so miteinander verrechnet, dass zwei neue Gleichungen entstehen und eine Variable in beiden Gleichungen eliminiert wird
- Mithilfe der Regeln werden die beiden neuen Gleichungen so miteinander verrechnet, dass die zweite Variable eliminiert wird
- Durch Äquivalenzumformungen werden die Variablen berechnet
Beispiel:
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
I & \quad & -a & + & b & + & c & = & 0 \\
II & \quad & a & - & 3b & - & 2c & = & 5 \\
III & \quad & 5a & + & b & + & 4c & = & 3
\end{array} \)
Schritt 1: Mithilfe der Regeln werden die Gleichungen so miteinander verrechnet, dass zwei neue Gleichungen entstehen und eine Variable in beiden Gleichungen eliminiert wird:
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
I + II & \quad & -a + a & + & b + (-3b) & + & c + (-2c) & = & 0 + 5 \\
& \quad & 0 & + & (-2b) & + & (-c) & = & 5 \\
& \quad & & & -2b & - & c & = & 5
\end{array} \)
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
5 \cdot I + III & \quad & 5 \cdot (-a) + 5a & + & 5 \cdot b + b & + & 5 \cdot c + 4c & = & 5 \cdot 0 + 3 \\
& \quad & 0 & + & 6b & + & 9c & = & 3 \\
& \quad & & & 6b & + & 9c & = & 3
\end{array} \)
So erhält man ein neues Gleichungssystem:
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
I & \quad & -a & + & b & + & c & = & 0 \\
II & \quad & & & -2b & - & c & = & 5 \\
III & \quad & & & 6b & + & 9c & = & 3
\end{array} \)
Schritt 2: Mithilfe der Regeln werden die beiden neuen Gleichungen so miteinander verrechnet, dass die zweite Variable eliminiert wird:
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
3 \cdot II + III & \quad & 3 \cdot (-2b) + 6b & + & 3 \cdot (-c) + 9c & = & 3 \cdot 5 + 3 \\
& \quad & 0 & + & 6c & = & 18 \\
& \quad & & & 6c & = & 18
\end{array} \)
So erhält man ein neues Gleichungssystem:
\( \begin{array}{rcrcrcrcr}
I & \quad & -a & + & b & + & c & = & 0 \\
II & \quad & & & -2b & - & c & = & 5 \\
III & \quad & & & & & 6c & = & 18
\end{array} \)
Schritt 3: Durch Äquivalenzumformungen werden die Variablen berechnet. Wichtig ist hierbei, dass das Gleichungssystem nun von unten nach oben abgelaufen wird. Dabei wird jeweils die Lösung aus dem vorherigen Schritt in die nächste Gleichung eingesetzt:
\( \begin{array}{rcrcrcrcrl}
III & \quad & & & & & 6c & = & 18 & \quad | : 6 \\
& \quad & & & & & c & = & 3 &
\end{array} \)
\( \begin{array}{rcrcrcrcrl}
II & \quad & & & -2b & - & c & = & 5 & \quad | \text{Einsetzen} \\
& \quad & & & -2b & - & 3 & = & 5 & \quad | + 3 \\
& \quad & & & -2b & & & = & 8 & \quad | : (-2) \\
& \quad & & & b & & & = & -4 &
\end{array} \)
\( \begin{array}{rcrcrcrcrl}
I & \quad & -a & + & b & + & c & = & 0 & \quad | \text{Einsetzen} \\
& \quad & -a & + & (-4) & + & 3 & = & 0 & \\
& \quad & -a & - & 1 & & & = & 0 & \quad | + 1 \\
& \quad & -a & & & & & = & 1 & \quad | : (-1) \\
& \quad & a & & & & & = & -1 &
\end{array} \)
Die Lösung des Gleichungssystems lautet nun also \( a = -1 \), \( b = -4 \) und \( c = 3 \).
