Aufgabe 6 – Erhöhtes Anforderungsniveau
Im Harz soll eine neue Skisprungschanze errichtet werden. Für das Projekt ist das Ingenieurbüro „EazyBau" beauftragt worden. Die nebenstehende Abbildung zeigt den ersten Entwurf für diese Schanze. Dabei beschreibt für den Bereich \(0 < x \leq 13\) die Funktion
die Aufsprungbahn der Schanze (\(x\) in 10 Metern, \(g(x)\) Höhe über dem Boden in 10 Metern).
a) Die Anlaufbahn soll gemäß der Abbildung 1 durch eine Funktion \(f(x)\) modelliert werden, wobei \(-10 \leq x \leq 0\). Das Ingenieurbüro hat einige Vorgaben für diese erhalten:
- Der Startpunkt der Anlaufbahn soll 148m über den Boden liegen.
- Der Absprugen punkt liegt 3m über dem Beginn der Aufsprungbahn.
- In dem Absprugenpunkt beträgt die Steigung -15%.
Bestimme eine quadratische Funktion \(f(x)\), die diese Eigenschaften erfüllt, wobei \(x\) in 10 Metern, \(f(x)\) Höhe über dem Boden in 10 Metern.
(Zur Kontrolle:
\(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - \frac{3}{20}x + \frac{83}{10}\))
Zeige, dass der Übergang zwischen Anlaufbahn und Aufsprungbahn knick-, aber nicht sprung- und krümmungsruckfrei ist.
Der Absprugen soll unter einem Winkel erfolgen, der kleiner als \(10^\circ\) ist. Untersuche, ob die Funktion \(f(x)\) diese Bedingung erfüllt.
Skizziere in Material 1 die Steigung der gesamten Skisprungschanze. Erkläre, woran in den Ableitungen deutlich wird, dass die beiden Funktionen an der Stelle \(x = 0\) nicht krümmungsruckfrei sind.
Die Aufsprungbahn ist am Schanzentisch zunächst konvex und weiter zum Auslauf hin konkav gekrümmt. Der Übergang zwischen den beiden Krümmungen ist der Beginn der Landezone. In diesem Punkt ist das Gefälle der Aufsprungbahn maximal. Die Landezone endet am sogenannten Hillsize-Punkt bei \(x = 10,2\). Die Aufsprungbahn besitzt eine durchschnittliche Breite von 14m.
b) Berechne den Beginn der Landezone.
Bestimme die durchschnittliche Steigung für die gesamte Landezone.
Berechne den Wert für \(g'(10,2)\) und gib die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang an.
An die Aufsprungbahn soll eine Auslaufbahn \(h(x)\) anschließen, die an \(g(x)\) stetig und differenzierbar anschließt. Bestimme die Funktionsgleichung \(h(x)\).
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktionenschar
betrachtet.
c) In Abbildung 2 sind zwei Funktionen für verschiedene Werte von \(k\) zu sehen. Bestimme begründet jeweils die Werte für \(k\).
Begründe, dass die Funktionenschar unabhängig des Parameters \(k\) stets genau eine Wendestelle besitzen muss.
Zeige, dass alle Tiefpunkte der Funktionenschar auf der Funktion \(e(x) = -1,5 \cdot e^{3x+\frac{1}{2}}\) liegen.
Anhang
Abbildung1
Abbildung2
Lösung
Aufgabenteil a)
1.
2.
Sprungfrei:
Knickfrei:
Krümmungsruckfrei:
3.
Der Absprung erfolgt bei \(x = 0\) mit \(f(0) = 8.3\) und \(f'(0) = -0.15\).
4.
5.
Krümmungsruckfrei bedeutet, dass \(f'(x)\) und \(g'(x)\) knickfrei aneinander schließen, sie also dieselbe Steigung an dieser Stelle in den Ableitungen besitzen.
Aufgabenteil b)
1.
Beginn der Landezone ist der Wendepunkt von \(g(x) \to x \approx 5.75\)
2.
Durchschnittliche Steigung:
3.
Der Wert gibt die momentane Steigung am Hillsize-Punkt an.
4.
Aufgabenteil c)
1.
Nullstellen von \(f_k(x)\) liegen bei \(x = -k\). Daraus folgt \(k_1 = -1\) und \(k_2 = -2\)
2.
Notwendige Bedingung:
Hinreichende Bedingung:
Somit besitzt die Funktionenschar stets genau eine Wendestelle bei \(x = -k - 1\)
3.
\(TP\) bei \(TP(-k - \frac{1}{2} | -1.5e^{-3k-1})\)