Aufgaben zu Wachstumsprozessen
Aufgabe 1
Ergänze die Tabelle so, dass sich ein lineares bzw. exponentielles Wachstum ergibt.
Aufgabe 2
Bei einem radioaktiven Präparat zerfällt jedes Jahr die vorhandene Masse um 5%. Zu Beginn der Beobachtung sind 25mg der Substanz vorhanden.
Aufgabe 3
Eine gekühlte Flasche Wasser der Temperatur \( 10^\circ C \) wird aus dem Kühlschrank entnommen und in einen Raum mit der Raumtemperatur von \( 21^\circ C \) gestellt. Nach 3 Stunden wird die Temperatur des Wassers mit \( 16^\circ C \) gemessen.
Aufgabe 4
Das Bevölkerungswachstum in einem Land wird als logistisches Wachstum aufgefasst und durch die Funktion
beschrieben, wobei \( B(t) \) die Bevölkerungsanzahl in Millionen und \( t \) die Zeit in Jahren angibt. Der Beobachtungsbeginn lag im Jahr 2007.
Aufgabe 5
In der Medizin werden Bakterienkulturen gezüchtet, um an diesen den Einsatz von Medikamenten zu untersuchen. Die Anzahl der lebenden Erreger in Abhängigkeit der Zeit kann durch eine Funktion der Form \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \) beschrieben werden. Hierbei beschreibt \( N(t) \) die Anzahl der lebenden Erreger und \( t \) die Zeit in Stunden. Während zu Beginn 300 lebende Erreger festgestellt wurden, sind nach acht Stunden bereits 4200 Erreger zu finden.
Bakterienkulturen werden in Schalen gezüchtet. In diesem Fall finden auf der Schale maximal 24000 Bakterien Platz.
Zur Erprobung eines neuen Medikaments wird nun nach 48 Stunden eine Medikamentenprobe eingesetzt, wodurch die Bakterienausbreitung in der Schale gestoppt wird. Ab diesem Moment sterben die Bakterien exponentiell ab. Sechs Stunden nach Medikamenteneinnahme sind noch 2400 Bakterien im Körper zu finden.
Lösungen
Aufgabe 1
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 8 & 10 & 20 \\ \hline y \text{ (linear)} & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 50 & 60 & 110 \\ \hline y \text{ (exp.)} & 10 & 15 & 22.5 & 33.75 & 50.63 & 256.29 & 576.65 & 33232.57 \\ \hline \end{array} \]
Aufgabe 2
a)
\[
f(t) = 25 \cdot 0.95^t \quad \to \quad f(t) = 25 \cdot e^{\ln(0.95) \cdot t}
\]
b)
\[
f(-2) \approx 27.7
\]
c)
\[
f(t) = 5 \quad \to \quad t \approx 31.38
\]
d)
\[
f(t) = 12.5 \quad \to \quad t \approx 13.5
\]
Aufgabe 3
a)
Begrenztes Wachstum:
\[
f(t) = 21 - 11 \cdot e^{-kt}
\]
(3|16) eingesetzt in \( f(t) \) ergibt \( k \approx 0.263 \) und somit
\[
f(t) = 21 - 11 \cdot e^{-0.263t}
\]
b)
\[
f(20) \approx 20.94
\]
c)
\[
f(t) = 20 \quad \to \quad t \approx 9.12
\]
Aufgabe 4
a)
Wenn \( t \to \infty \) strebt, dann strebt \( 40 \cdot e^{-0.075t} \to 0 \).
Wenn \( 40 \cdot e^{-0.075t} \to 0 \) strebt, dann strebt
\[
\frac{500}{10 + 40 \cdot e^{-0.075t}} \to \frac{500}{10} \to 50.
\]
b)
\[
B(t) > 40 \quad \to \quad t > 36.97
\]
A: Nach ungefähr 37 Jahren, im Jahr 2044.
c)
\[
B(-45) \approx 0.424
\]
A: Die Bevölkerungszahl betrug ca. 424000.
Aufgabe 5
a)
\[
N(t) = 300 \cdot e^{kt}
\]
(8|4200) eingesetzt in \( N(t) \) ergibt \( k \approx 0.33 \) und somit
\[
N(t) = 300 \cdot e^{0.33t}
\]
b)
Unbegrenztes exponentielles Wachstum
c)
\[
N(0.5) \approx 354
\]
Prozentualer Zuwachs:
\[
\frac{354 - 300}{300} = 0.18 = 18\%
\]
d)
\[
N(t) = 10000 \quad \to \quad t \approx 10.63
\]
e)
Das Modell ist ungeeignet, da die Anzahl der Erreger nach diesem gegen unendlich streben, obwohl nur 24000 Erreger Platz finden.
f)
\[
N_2(t) = 24000 - 23700 \cdot e^{-kt}
\]
(8|4200) eingesetzt in \( N_2(t) \) ergibt \( k \approx 0.0225 \) und somit
\[
N_2(t) = 24000 - 23700 \cdot e^{-0.0225t}
\]
g)
Unbegrenzte Abnahme:
\[
N_3(t) = N_2(48) \cdot e^{-kt}
\]
\[
N_2(48) \approx 15952
\]
eingesetzt in \( N_3(t) \) ergibt \( k \approx 0.3157 \) und somit
\[
N_3(t) = 15952 \cdot e^{-0.3157t}
\]
h)
\[
N_3(t) = 100 \quad \to \quad t \approx 16.1
\]
i)
Das Modell ist insofern ungeeignet, dass die Erregerzahl mathematisch betrachtet nie den Wert 0 erreichen wird.
j)
\[
\frac{1}{10} N_0 = N_0 \cdot e^{-kD} \quad \to \quad -\frac{1}{k} \ln \left( \frac{1}{10} \right) = D
\]