Aufgabe 4 – Erhöhtes Anforderungsniveau
Die Firma „EasyWin" hat sich ein neues Logo entwerfen lassen. Es soll den Buchstaben „W" zeigen. Statt einer kantigen Darstellung des Buchstabens hat man sich für eine schwungvolle Darstellung entschieden. Die Abbildung 1 zeigt den Entwurf für das neue Logo. Der untere Rand des Logos kann durch die Funktion \( f(x) = \frac{1}{48}x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{16}{3}, -6 \leq x \leq 6, x \) und \( f(x) \) in cm, beschrieben werden.
a) Zeige, dass die Funktion \( f(x) \) achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Die Firmenleitung hat der Marketingabteilung für die Erstellung des Logos zwei Vorgaben gegeben:
- Der horizontale Abstand zwischen den unteren Bögen des Buchstabens soll maximal 8cm betragen.
- Der vertikale Abstand zwischen den beiden unteren Bögen zu dem oberen Bogen soll mindestens 5cm betragen.
Überprüfe, ob die Funktion die beiden Bedingungen erfüllt.
Der obere Rand des Logos soll zunächst durch eine Funktionenschar \( g_b(x) = ax^4 + bx^2 + c \) beschrieben werden, wobei \( x \) und \( g_b(x) \) in cm, \(-6 \leq x \leq 6\) und \( b < 0 \). Bei der Funktion handelt es sich um eine Funktion vierten Grades, die achsensymmetrisch ist.
An den Stellen \( x = -4 \) und \( x = 4 \) besitzt sie jeweils einen Tiefpunkt. Die Funktion schneidet die y-Achse bei 9.
b) Bestimme die Funktionenschar \( g_b(x) \), die den oberen Rand des Logos beschreibt. (Zur Kontrolle: \( g_b(x) = -\frac{1}{32}bx^4 + bx^2 + 9 \))
Erstelle eine Funktionsgleichung \( d_b(x) \), die die vertikale Dicke des Logos beschreibt.
Für die Präsentation soll das Logo der Firma mit \( f(x) \) und \( g_{-0.5}(x) \) auf einem rechteckigen Hintergrund präsentiert werden. Bestimme die Maße des rechteckigen Hintergrundes, die mindestens benötigt werden, damit das Logo vollständig abgebildet werden kann.
Gegeben sind die Terme
und
Interpretiere die Terme im Sachzusammenhang.
Zur Einweihung des neuen Logos hat sich der Firmenchef eine ganz besondere Idee einfallen lassen. Vor dem Hauptsitz der Firma soll das neue Logo als große Skulptur enthüllt werden. Der Chef hat sich dafür entschieden, dass die Skulptur aus Bronze gegossen werden soll und eine Tiefendicke von 50cm besitzen soll. Für das Bronze muss pro Liter 14,-€ bezahlt werden.
c) Begründe, dass die Funktion \( h(x) = \frac{1}{48}x^4 - \frac{2}{3}x^2 + \frac{109}{12}, -6 \leq x \leq 6, x \) und \( h(x) \) in m, den unteren Rand des Logos beschreibt, wenn die Skulptur auf einem Sockel der Höhe von 3,75m steht.
Für die Skulptur beschreibt die Funktion \( t(x) = \frac{1}{64}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{51}{4}, -6 \leq x \leq 6, x \) und \( t(x) \) in m, den oberen Rand des Logos.
Bestimme die Materialkosten für die Bronzeskulptur.
Hinweis: \( 1 \, \text{Liter} = 1 \, \text{dm}^3 \)
d) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion \( g_b(x) = -\frac{1}{32} bx^4 + bx^2 + 9, b < 0 \), betrachtet. Zeige, dass alle Extremstellen der Funktionenschar unabhängig des Parameters \( b \) sind. Bestimme die Tiefpunkte der Funktionenschar.
Gemäß der Abbildung 2 soll unter die Funktion \( g_{-1}(x) \) zwischen den Tiefpunkten ein Rechteck eingelassen werden. Bestimme den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks.
Abbildung 1
Abbildung 2
Lösung
Aufgabenteil a)
(1)
(2)
Horizontaler Abstand = Differenz der x-Werte der Tiefpunkte:
Tiefpunkte bei \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\), Differenz: \(4 - (-4) = 8\).
Vertikaler Abstand = Differenz der y-Werte zwischen Tief- und Hochpunkte:
\(HP(0|5.33)\), \(TP_1(-4|0)\), \(TP_2(4|0)\)
Differenz: \(5.33 - 0 = 5.33\)
Aufgabenteil b)
(1)
(2) vertikale Dicke:
(3)
Breite: \(6 + 6 = 12\,\text{cm}\); Höhe: \(g_{0.5}(-6) = g_{0.5}(6) = 6.75\,\text{cm}\)
A: Man benötigt die Maße 12cm × 6.75cm.
(4)
\(A_1\): Das Integral beschreibt die Fläche, die von den beiden Funktionen eingeschlossen wird. Somit wird mit diesem Term die Gesamtfläche des Logos berechnet.
\(A_2\): \(81 = 12 \cdot 6.75\), was dem Flächeninhalt des rechteckigen Rahmens entspricht. Von diesem Wert wird der Flächeninhalt des Logos abgezogen, sodass der gesamte Term den verbliehenden Flächeninhalt des Hintergrunds berechnet.
Aufgabenteil c)
(1) \(h(x)\) verläuft parallel zu \(f(x)\), wobei \(h(x)\) im Vergleich zu \(f(x)\) um den Wert von 3.75 nach oben verschoben wurde, was der Höhe des Sockels entspricht.
(2)
Aufgabenteil d)
(1)
Alle Extremstellen sind unabhängig des Parameters b und liegen stets an diesen Stellen.
Breite des Rechtecks: \(2u\)
Höhe des Rechtecks:
Hinweis: Der Tiefpunkt der Funktionenschar liegt auf der Höhe von \(y = 1\)
Der maximale Flächeninhalt beträgt 18,32 FE.