Bedingte Wahrscheinlichkeit
Es werden zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) betrachtet. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit von \(A\) unter der Bedingung \(B\) gibt die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses \(A\) an, wenn \(B\) bereits eingetreten ist. Man schreibt \(P_B(A)\) oder \(P(A|B)\). Eine bedingte Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass bereits etwas bekannt ist oder etwas vorausgesetzt wird.
Auch wenn der Begriff der Bedingten Wahrscheinlichkeiten neu sein mag, so kennt man diesen eigentlich bereits aus dem Baumdiagramm:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ist in einem Baumdiagramm direkt ablesbar. Allgemein gilt für die Berechnung einer Bedingten Wahrscheinlichkeit:
Diese Formel ergibt sich unmittelbar aus der Produktregel und dem obenstehenden Baumdiagramm:
Beispiel:
In einer Bevölkerung sind 0,5% mit einem neuartigen Virus infiziert. Zur Feststellung des Virus wurde ein Testverfahren entwickelt. Ein Test zeigt bei einem Infizierten zu 95% an, dass er tatsächlich infiziert ist. Insgesamt wurden 0,8% in der Bevölkerung positiv getestet.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Test tatsächlich eine Erkrankung vorliegt.
Gegeben:
Gesucht:
Für die Berechnung fehlt zunächst noch die Wahrscheinlichkeit \(P(I \cap p)\). Mithilfe des Baumdiagramms und der Produktregel lässt sich diese Wahrscheinlichkeit jedoch aus den gegeben Informationen berechnen:
Nun kann alles in \(P_p(I) = \frac{P(I \cap p)}{P(p)}\) eingesetzt werden:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Test tatsächlich eine Infizierung vorliegt, beträgt ungefähr 59,4%.