Punktprobe
Mit der Punktprobe kann man prüfen, ob ein Punkt \( P \) Element einer Geraden \( g \) ist, also auf der Geraden liegt. Ist der Punkt Element der Gerade, wird es gekennzeichnet mit \( P \in g \).
Gesucht: Liegt ein Punkt \( P \) auf einer Geraden \( g \)?
- Ortsvektor des Punktes \( P \) mit der Geradengleichung gleichsetzen
- Jede Zeile als eigene Gleichung verstehen und nach \( \lambda \) auflösen
→ Erhält man in jeder Zeile die gleiche Lösung für \( \lambda \), liegt der Punkt auf der Geraden
Beispiel:
Prüfe, ob der Punkt \(P(8|4|7)\) auf der Geraden \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) liegt.
Schritt 1: Ortsvektor des Punktes P mit der Geradengleichung gleichsetzen:
Schritt 2: Jede Zeile als eigene Gleichung verstehen und nach \( \lambda \) auflösen:
\( \Rightarrow P \in g \)
Die Lösung für den Parameter \( \lambda = 3 \) bedeutet in diesem Fall, dass man durch das Einsetzen dieser Lösung in die Geradengleichung die Koordinaten des Punktes \( P \) erhält.
Geometrisch müssen wir uns das so vorstellen: Vom Punkt \( A \), der den Stützvektor bildet, wird genau dreimal der Richtungsvektor entlang der Geraden gegangen, um zum Punkt \( P \) zu gelangen.
Brauchst du Hilfe bei der Punktprobe?
Wenn dir die Punktprobe bei Geraden oder Ebenen schwerfällt, unterstützen wir dich mit individueller Mathe Nachhilfe vor Ort. Bei eazy learning erklären wir dir den Rechenweg verständlich und üben mit dir die sichere Anwendung an typischen Aufgaben.
Passende Seiten für dich: