Quotientenregel

Die Quotientenregel wird für das Ableiten genau dann angewandt, wenn die Funktion aus einem Bruch besteht und dabei mindestens eine Variable im Nenner steht. Die Bestandteile werden als Zähler- und Nennerfunktion bezeichnet.

\( f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \rightarrow f'(x) = \frac{z'(x) \cdot n(x) - z(x) \cdot n'(x)}{n(x)^2} \)

1. Beide Faktoren \( z(x) \) und \( n(x) \) benennen

2. Beide Ableitungen \( z'(x) \) und \( n'(x) \) bilden

3. Einzelne Bestandteile in \( f'(x) \) einsetzen

Beispiel:

\( f(x) = \frac{5}{1 + 9e^{-0.5x}} \)

Schritt 1: Beide Faktoren \( z(x) \) und \( n(x) \) benennen:

\( z(x) = 5 \quad n(x) = 1 + 9e^{-0.5x} \)

Schritt 2: Beide Ableitungen \( z'(x) \) und \( n'(x) \) bilden:

\( z'(x) = 0 \quad n'(x) = -4.5e^{-0.5x} \)

Schritt 3: Einzelne Bestandteile in \( f'(x) = \frac{z'(x) \cdot n(x) - z(x) \cdot n'(x)}{n(x)^2} \) einsetzen:

\( f'(x) = \frac{0 \cdot (1 + 9e^{-0.5x}) - 5 \cdot (-4.5e^{-0.5x})}{(1 + 9e^{-0.5x})^2} \)

\( f'(x) = \frac{22.5e^{-0.5x}}{(1 + 9e^{-0.5x})^2} \)

Mathematik

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Quotientenregel

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