Ableiten Aufgaben

Aufgabe 1

a)

b)

c)

d)

Aufgabe 2

a) \( f'(x) = 3x^2 \)

b) \( f'(x) = -2x - 2 \)

c) \( f'(x) = 1 \)

d) \( f'(x) = -2x \)

e) \( f'(x) = 15x^4 - 6x^2 \)

f) \( f'(x) = 6x^2 + 0.4x - 0.5 \)

g) \( f'(x) = 2x \)

h) \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 5 \)

i) \( f'(x) = 1 \)

j) \( f'(x) = -2x^{-3} + 4x + 4 \)

k) \( f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x \)

l) \( f'(x) = 4x^4 - \frac{8}{3}x + \frac{9}{8}x^2 - 3 \)

Aufgabe 3

a) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 3(x + 4)^2 \)

b) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^2 + 4x \rightarrow v'(x) = 2x + 4 \)
\( = f'(x) = (-6x - 12) \cdot (x^2 + 4x)^2 \)

c) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = 3x - 2 \rightarrow v'(x) = 3 \)
\( = f'(x) = 3e^{3x-2} \)

d) \( u(x) = 4e^x \rightarrow u'(x) = 4e^x \)
\( v(x) = x \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 4e^x \)

e) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = -x^2 \rightarrow v'(x) = -2x \)
\( = f'(x) = 2xe^{-x^2} \)

f) \( u(x) = x^2 \rightarrow u'(x) = 2x \)
\( v(x) = e^{3x+2} \rightarrow v'(x) = 3e^{3x+2} \)
\( = f'(x) = 6e^{3x+2} \cdot (e^{3x+2} - 3) \)

g) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = -x \rightarrow v'(x) = -1 \)
\( = f'(x) = -e^{-x} \)

h) \( u(x) = 5x^{-2} \rightarrow u'(x) = -10x^{-3} \)
\( v(x) = x^2 - 3 \rightarrow v'(x) = 2x \)
\( = f'(x) = -20x \cdot (x^2 - 3)^{-3} \)

i) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = 4 - 2x \rightarrow v'(x) = -2 \)
\( = f'(x) = -6(4 - 2x)^2 \)

j) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^3 + 2 \rightarrow v'(x) = 3x^2 \)
\( = f'(x) = -3(x^3 + 2)^2 \cdot 3x^2 \)

k) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = x - 2 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = e^{x-2} \)

l) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -e^{x+4} \)

Aufgabe 4

a) \( u(x) = x \rightarrow u'(x) = 1 \)
\( v(x) = e^x \rightarrow v'(x) = e^x \)
\( = f'(x) = e^x (x + 1) \)

b) \( u(x) = e^{-x-1} \rightarrow u'(x) = -e^{-x-1} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{-x-1} (2 - 2x) \)

c) \( u(x) = -x \rightarrow u'(x) = -1 \)
\( v(x) = (x + 3)^3 \rightarrow v'(x) = 3(x + 3)^2 \)
\( = f'(x) = -3x(x + 3)^2 - (x + 3)^3 \)

d) \( u(x) = 5x \rightarrow u'(x) = 5 \)
\( v(x) = e^{0.1x^2} \rightarrow v'(x) = 0.2x \cdot e^{0.1x^2} \)
\( = f'(x) = e^{0.1x^2} \cdot (x^2 + 5) \)

e) \( u(x) = -e^{3x-4} \rightarrow u'(x) = -3e^{3x-4} \)
\( v(x) = -3x \rightarrow v'(x) = -3 \)
\( = f'(x) = e^{3x-4} \cdot (3 + 9x) \)

f) \( u(x) = e^{6x+4} \rightarrow u'(x) = 6e^{6x+4} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{6x+4} \cdot (2 + 12x) \)

g) \( u(x) = e^{2x-2} \rightarrow u'(x) = 2e^{2x-2} \)
\( v(x) = 5x^3 \rightarrow v'(x) = 15x^2 \)
\( = f'(x) = e^{2x-2} \cdot (15x^2 + 10x^3) \)

h) \( u(x) = \frac{1}{2}x \rightarrow u'(x) = \frac{1}{2} \)
\( v(x) = e^{-0.2x} \rightarrow v'(x) = -0.2e^{-0.2x} \)
\( = f'(x) = e^{-0.2x}(\frac{1}{2} - 0.1x) \)

Aufgabe 5

a) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -\frac{5}{x^2} \)

b) \( z(x) = 2x \rightarrow z'(x) = 2 \)
\( n(x) = x - 3 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-6}{(x-3)^2} \)

c) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 2 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-5}{(x-2)^2} \)

d) \( z(x) = 1 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 1 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} \)

e) \( z(x) = 100 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 - 15e^{-0.5x} \rightarrow n'(x) = 7.5e^{-0.5x} \)
\( = f'(x) = \frac{-750e^{-0.5x}}{(1-15e^{-0.5x})^2} \)

f) \( z(x) = 10 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 + 5e^{-2x} \rightarrow n'(x) = -10e^{-2x} \)
\( = f'(x) = \frac{100e^{-2x}}{(1+5e^{-2x})^2} \)

Aufgabe 6

a) \( f(x) \) muss die Hyperbel sein. An den Stellen, an denen \( f(x) \) Extremstellen besitzt, hat die dazugehörige Ableitung (Parabel) Nullstellen. (2 Extremstellen von \( f(x) = 2 \) Nullstellen von \( f'(x) \)).

b) \( f(x) \) besitzt in diesem Bereich eine Nullstelle mit Wechsel von positiver zu negativer Steigung. Daher muss \( f(x) \) in diesem Bereich einen Hochpunkt besitzen.