Ableiten Aufgaben
Aufgabe 1
Leite graphisch folgende Funktionen ab.
Aufgabe 2
Leite folgende Funktionen ab.
Aufgabe 3
Leite folgende Funktionen mit der Kettenregel ab.
Aufgabe 4
Leite folgende Funktionen mit der Produktregel ab.
Aufgabe 5
Leite folgende Funktionen mit der Quotientenregel ab.
Aufgabe 6
Gegeben ist eine Funktion \( f(x) \) und die dazugehörige Ableitung \( f'(x) \). Beide Funktionen sind in der untenstehenden Abbildung zu sehen.
Lösungen
Aufgabe 1
a) 
b) 
c) 
d) 
Aufgabe 2
a) \( f'(x) = 3x^2 \)
b) \( f'(x) = -2x - 2 \)
c) \( f'(x) = 1 \)
d) \( f'(x) = -2x \)
e) \( f'(x) = 15x^4 - 6x^2 \)
f) \( f'(x) = 6x^2 + 0.4x - 0.5 \)
g) \( f'(x) = 2x \)
h) \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 5 \)
i) \( f'(x) = 1 \)
j) \( f'(x) = -2x^{-3} + 4x + 4 \)
k) \( f'(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x \)
l) \( f'(x) = 4x^4 - \frac{8}{3}x + \frac{9}{8}x^2 - 3 \)
Aufgabe 3
a) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 3(x + 4)^2 \)
b) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^2 + 4x \rightarrow v'(x) = 2x + 4 \)
\( = f'(x) = (-6x - 12) \cdot (x^2 + 4x)^2 \)
c) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = 3x - 2 \rightarrow v'(x) = 3 \)
\( = f'(x) = 3e^{3x-2} \)
d) \( u(x) = 4e^x \rightarrow u'(x) = 4e^x \)
\( v(x) = x \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = 4e^x \)
e) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = -x^2 \rightarrow v'(x) = -2x \)
\( = f'(x) = 2xe^{-x^2} \)
f) \( u(x) = x^2 \rightarrow u'(x) = 2x \)
\( v(x) = e^{3x+2} \rightarrow v'(x) = 3e^{3x+2} \)
\( = f'(x) = 6e^{3x+2} \cdot (e^{3x+2} - 3) \)
g) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = -x \rightarrow v'(x) = -1 \)
\( = f'(x) = -e^{-x} \)
h) \( u(x) = 5x^{-2} \rightarrow u'(x) = -10x^{-3} \)
\( v(x) = x^2 - 3 \rightarrow v'(x) = 2x \)
\( = f'(x) = -20x \cdot (x^2 - 3)^{-3} \)
i) \( u(x) = x^3 \rightarrow u'(x) = 3x^2 \)
\( v(x) = 4 - 2x \rightarrow v'(x) = -2 \)
\( = f'(x) = -6(4 - 2x)^2 \)
j) \( u(x) = -x^3 \rightarrow u'(x) = -3x^2 \)
\( v(x) = x^3 + 2 \rightarrow v'(x) = 3x^2 \)
\( = f'(x) = -3(x^3 + 2)^2 \cdot 3x^2 \)
k) \( u(x) = e^x \rightarrow u'(x) = e^x \)
\( v(x) = x - 2 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = e^{x-2} \)
l) \( u(x) = -e^x \rightarrow u'(x) = -e^x \)
\( v(x) = x + 4 \rightarrow v'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -e^{x+4} \)
Aufgabe 4
a) \( u(x) = x \rightarrow u'(x) = 1 \)
\( v(x) = e^x \rightarrow v'(x) = e^x \)
\( = f'(x) = e^x (x + 1) \)
b) \( u(x) = e^{-x-1} \rightarrow u'(x) = -e^{-x-1} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{-x-1} (2 - 2x) \)
c) \( u(x) = -x \rightarrow u'(x) = -1 \)
\( v(x) = (x + 3)^3 \rightarrow v'(x) = 3(x + 3)^2 \)
\( = f'(x) = -3x(x + 3)^2 - (x + 3)^3 \)
d) \( u(x) = 5x \rightarrow u'(x) = 5 \)
\( v(x) = e^{0.1x^2} \rightarrow v'(x) = 0.2x \cdot e^{0.1x^2} \)
\( = f'(x) = e^{0.1x^2} \cdot (x^2 + 5) \)
e) \( u(x) = -e^{3x-4} \rightarrow u'(x) = -3e^{3x-4} \)
\( v(x) = -3x \rightarrow v'(x) = -3 \)
\( = f'(x) = e^{3x-4} \cdot (3 + 9x) \)
f) \( u(x) = e^{6x+4} \rightarrow u'(x) = 6e^{6x+4} \)
\( v(x) = 2x \rightarrow v'(x) = 2 \)
\( = f'(x) = e^{6x+4} \cdot (2 + 12x) \)
g) \( u(x) = e^{2x-2} \rightarrow u'(x) = 2e^{2x-2} \)
\( v(x) = 5x^3 \rightarrow v'(x) = 15x^2 \)
\( = f'(x) = e^{2x-2} \cdot (15x^2 + 10x^3) \)
h) \( u(x) = \frac{1}{2}x \rightarrow u'(x) = \frac{1}{2} \)
\( v(x) = e^{-0.2x} \rightarrow v'(x) = -0.2e^{-0.2x} \)
\( = f'(x) = e^{-0.2x}(\frac{1}{2} - 0.1x) \)
Aufgabe 5
a) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = -\frac{5}{x^2} \)
b) \( z(x) = 2x \rightarrow z'(x) = 2 \)
\( n(x) = x - 3 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-6}{(x-3)^2} \)
c) \( z(x) = 5 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 2 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-5}{(x-2)^2} \)
d) \( z(x) = 1 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = x - 1 \rightarrow n'(x) = 1 \)
\( = f'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} \)
e) \( z(x) = 100 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 - 15e^{-0.5x} \rightarrow n'(x) = 7.5e^{-0.5x} \)
\( = f'(x) = \frac{-750e^{-0.5x}}{(1-15e^{-0.5x})^2} \)
f) \( z(x) = 10 \rightarrow z'(x) = 0 \)
\( n(x) = 1 + 5e^{-2x} \rightarrow n'(x) = -10e^{-2x} \)
\( = f'(x) = \frac{100e^{-2x}}{(1+5e^{-2x})^2} \)
Aufgabe 6
a) \( f(x) \) muss die Hyperbel sein. An den Stellen, an denen \( f(x) \) Extremstellen besitzt, hat die dazugehörige Ableitung (Parabel) Nullstellen. (2 Extremstellen von \( f(x) = 2 \) Nullstellen von \( f'(x) \)).
b) \( f(x) \) besitzt in diesem Bereich eine Nullstelle mit Wechsel von positiver zu negativer Steigung. Daher muss \( f(x) \) in diesem Bereich einen Hochpunkt besitzen.