Fläche zwischen Funktion und x-Achse
Gesucht: Fläche zwischen Funktion und x-Achse
\( A = \int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \)
- Grenzen der Funktion ermitteln (falls nicht gegeben)
- Stammfunktion
F(x)bilden (wobeiC = 0) - Stammfunktion und Grenzen in allgemeine Schreibweise einsetzen
Beispiel:
Gesucht ist die Fläche, die die Funktion f(x) = -x² + 2 mit der x-Achse einschließt.
Schritt 1: Grenzen der Funktion ermitteln:
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich, dass es sich bei den Grenzen um die Nullstellen der Funktion handelt. Daher werden die Nullstellen berechnet:
\( f(x) = 0 \)
\( 0 = -x^2 + 2 \quad | + x^2 \)
\( x^2 = 2 \quad | \sqrt{} \)
\( x_1 = \sqrt{2} \)
\( x_2 = -\sqrt{2} \)
Schritt 2: Stammfunktion bilden (wobei C = 0):
\( f(x) = -x^2 + 2 \quad \rightarrow \quad F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x \)
Schritt 3: Stammfunktion und Grenzen in allgemeine Schreibweise einsetzen:
\( A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} f(x) \, dx \)
\( = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 2x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \)
\( = \left( -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{2}^3 + 2 \cdot \sqrt{2} \right) - \left( -\frac{1}{3} \cdot \left( -\sqrt{2} \right)^3 + 2 \cdot \left( -\sqrt{2} \right) \right) \)
\( \approx 3,77 \, \text{FE} \)