Ebenenformen

Die Parameterform haben wir bereits kennengelernt. Jedoch gibt es bei Ebenen verschiedene Formen der Darstellung, die jeweils die gleiche Ebene beschreiben.

Umwandlung von Ebenendarstellungen

Parameterform → Normalenform

Gegeben sei eine Ebene in Parameterform \( E: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} + \mu \cdot \overrightarrow{AC} \), die in die Normalenform umgewandelt werden soll. Für das Aufstellen der Normalenform benötigt man einen Normalenvektor \( \vec{n} \) sowie einen Stützvektor \( \overrightarrow{OA} \).

Beispiel:

Schritt 1: Der Normalenvektor \( \vec{n} \) wird durch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmt:

Schritt 2: Der Stützvektor der Parameterform und der berechnete Normalenvektor werden in die allgemeine Normalenform eingesetzt:

Normalenform → Parameterform

Gegeben sei eine Ebene in Normalenform \( E: (\vec{x} - \overrightarrow{OA}) * \vec{n} = 0 \), die in die Parameterform umgewandelt werden soll. Für das Aufstellen der Parameterform benötigt man einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.

Beispiel:

Schritt 1: Der Stützvektor der Normalenform \( \overrightarrow{OA} \) wird übernommen und in die allgemeine Formel für die Parameterform eingesetzt:

Schritt 2: Gesucht werden nun zwei Richtungsvektoren \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \), die senkrecht zum Normalenvektor \( \vec{n} \) stehen. Wir wissen: Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt der beiden 0: \( \vec{v} * \vec{n} = 0 \) und \( \vec{w} * \vec{n} = 0 \)

Für diese Richtungsvektoren gibt es verschiedene Lösungen, zum Beispiel:

Schritt 3: Die Richtungsvektoren werden nun in die Parameterform eingesetzt:

Normalenform → Koordinatenform

Gegeben sei eine Ebene in Normalenform \( E: (\vec{x} - \overrightarrow{OA}) * \vec{n} = 0 \), die in die Koordinatenform umgewandelt werden soll.

Beispiel:

Schritt 1: Die Klammer in der Normalenform wird aufgelöst:

Schritt 2: Durch Auflösen des Skalarprodukts erhält man die Koordinatenform:

Koordinatenform → Normalenform

Gegeben sei eine Ebene in Koordinatenform \( E: n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d \), die in die Normalenform umgewandelt werden soll. Für das Aufstellen der Normalenform benötigt man einen Normalenvektor \( \vec{n} \) sowie einen Stützvektor \( \overrightarrow{OA} \).

Beispiel:

\( E: 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8 \)

Schritt 1: Der Normalenvektor wird aus der Koordinatenform abgelesen:

Schritt 2: Für den Stützvektor \( \overrightarrow{OA} \) sucht man nun Werte für \( x_1, x_2, x_3 \), sodass die Gleichung \( 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 8 \) eine wahre Aussage ergibt. In diesem Fall sind wieder mehrere Lösungen möglich:

Schritt 3: Die Normalenform wird aufgestellt:

Koordinatenform → Parameterform

Gegeben sei eine Ebene in Koordinatenform \( E: n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d \), die in die Parameterform umgewandelt werden soll. Für das Aufstellen der Parameterform benötigt man einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.

Beispiel:

\( E: 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 12 \)

Schritt 1: Drei Punkte \( A, B, C \) der Ebene aus der Koordinatenform bestimmen. Wenn möglich sollte man die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen suchen. Bei diesen sind zwei Koordinaten jeweils 0:

Schritt 2: Eine Ebenengleichung aus drei Punkten A, B und C bestimmt am besten mit der folgenden Formel:

Parameterform → Koordinatenform

Gegeben sei eine Ebene in Parameterform \( E: \vec{x} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} + \mu \cdot \overrightarrow{AC} \), die in die Koordinatenform umgewandelt werden soll.