Ortskurve
Eine Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die sich hinsichtlich bestimmter Eigenschaften ähneln. In der Schule ist in der Regel nach der Bestimmung von Ortskurven für Extrem- bzw. Wendepunkte gefragt.
Gesucht: Ortskurve zu einer Funktionenschar \( f_k(x) \)
(hier: bezogen auf Extrempunkte)
1. x-Koordinate der Extrempunkte nach dem Parameter der Funktionenschar umformen
2. Umgeformte x-Koordinate in die y-Koordinate des Extrempunktes einsetzen und zusammenfassen
Beispiel:
Im Folgenden wird als Beispiel die Ortskurve für den ermittelten Extrempunkt \( EP_2\left(\frac{2}{3}k | -\frac{4}{27}k^3\right) \) der Funktionenschar \( f_k(x) = x^3 - kx^2 \) aufgestellt.
Schritt 1:
Die x-Koordinate des Extrempunktes wird nach dem Parameter \( k \) umgeformt:
Schritt 2:
Die umgeformte x-Koordinate wird nun in die y-Koordinate des Extrempunktes eingesetzt und anschließend zusammengefasst. Am Ende erhält man die Ortskurve:
Die Ortskurve \( y = -\frac{1}{2}x^3 \) verläuft durch alle Extrema der Funktionenschar \( f_k(x) = x^3 - kx^2 \).