Integrale Aufgaben

Aufgabe 1

a) \( A = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) dx = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3} \approx 10.67 \)

b) \( A = \int_{-3}^{1} (0.5x^2 + x - 1.5) dx = \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3} \approx 5.33 \)

c) \( A = \int_{-3}^{0} (x^3 + 3x^2) dx = \frac{27}{4} \approx 6.75 \)

d) \( A = \int_{-2}^{2} (x^4 - 4x^2) dx = \left| -\frac{128}{15} \right| = \frac{128}{15} \approx 8.53 \)

e) \( A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^4 - 4x^2 + 4) dx \approx 6.03 \)

f) \( A = \int_{-4}^{4} (-2x^2 + 32) dx \approx 170.67 \)

Aufgabe 2

a) \( A = \int_{-2}^{2} \left( (-x^2 + 4) - (x^2 - 4) \right) dx = \frac{64}{3} \approx 21.33 \)

b) \( A = \int_{0}^{4} \left( 4x - -x^2 \right) dx = \frac{32}{3} \approx 10.67 \)

c) \( A = \int_{0.71}^{4.31} \left( 2x - e^{0.5x} \right) dx \approx 3.67 \)

d) \( A = \int_{-2}^{4} \left( (-0.25x^2 + 1) - (-0.5x - 1) \right) dx = 9 \)

Aufgabe 3

a) \( A = 8 \cdot 4 - \int_{-4}^{4} \left( \frac{1}{4}x^2 \right) dx = 32 - \frac{32}{3} = \frac{64}{3} \approx 21.33 \)

b) \( A = 2 \cdot 2.83 \cdot 8 - \int_{-2.83}^{2.83} \left( \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 8 \right) dx \approx 24.14 \)

c) \( A = \int_{-2}^{2} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 4 \right) dx - 4 \cdot 2 = \frac{40}{3} - 8 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \)

d) \( A_1 = 1.62 \cdot 2 - \int_{-0.62}^{1} (-2x^3 + 4x^2) dx \approx 2.02 \)
\( A_2 = \int_{1}^{1.62} (-2x^3 + 4x^2) dx - 0.62 \cdot 2 \approx 0.15 \)
\( A_3 = 0.38 \cdot 2 - \int_{1.62}^{2} (-2x^3 + 4x^2) dx \approx 0.32 \)
\( A = A_1 + A_2 + A_3 = 2.49 \)

Aufgabe 4

a) Die Nullstellen der Funktion liegen bei \( x = 1 \) und \( x = -1 \) mit dem y-Achsenabschnitt bei \( y = -1 \). Somit ist die eingeschlossene Fläche zwischen den Nullstellen unterhalb der x-Achse, wodurch das Integral negativ sein muss.

b) \( \int_{-1}^{1} f_k(x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - k - \left( -\frac{1}{3} + k \right) = \frac{2}{3} - 2k \)
Aus \( \frac{2}{3} - 2k = 0 \) folgt \( k = \frac{1}{3} \)

Aufgabe 5

a) \( A = \int_{0}^{4} (-x^3 + 4x^2) dx = \frac{64}{3} \approx 21.33 \)

b) \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 \right]_{0}^{a} = -\frac{1}{4} a^4 + \frac{4}{3} a^3 \)
Aus \( -\frac{1}{4} a^4 + \frac{4}{3} a^3 = 15.75 \) folgt \( a_1 = 3 \) und \( a_2 \approx 4.74 \)

c) \( A = \int_{-1}^{2} \left( (x + 6) - (-x^3 + 4x^2) \right) dx + \int_{2}^{3} \left( (-x^3 + 4x^2) - (x + 6) \right) dx \approx 11.83 \)

Aufgabe 6

a) \( V = \pi \cdot \int_{0}^{8} (\sqrt{x})^2 dx = 32\pi \approx 100.53 \)

b) \( V = \pi \cdot \int_{0}^{20} (0.1x^2)^2 dx = 6400\pi \approx 20106.7 \)

c) \( V = \pi \cdot \int_{-5}^{5} (e^{-0.1x})^2 dx = 11.75\pi \approx 36.91 \)

d) \( V = \pi \cdot \int_{-2}^{8} (x^2 + x)^2 dx = 8773.33\pi \approx 27562.23 \)

Aufgabe 7

a)

b) Die Fläche unterhalb der x-Achse ist kleiner als die Fläche oberhalb der x-Achse, weswegen nicht die Menge an Wasser herausfließt, die im ersten Teil in die Badewanne einfließt.

c) \( A_1 = \int_{0}^{4.17} f(x) dx \approx 8.29 > |A_2 = \int_{4.17}^{6.67} f(x) dx \approx 2.12| \)

d) \( F(0): \) Menge an Wasser zum Zeitpunkt \( x = 0 \)
\( \int_{0}^{2} f(x) dx: \) Zugeflossene Menge Wasser innerhalb der ersten zwei Stunden
\( F(4) - F(0): \) Zugeflossene Menge Wasser innerhalb der ersten vier Stunden

e) \( \int_{0}^{5} f(x) dx + 3 \approx 10.81 \)

f) \( \int_{0}^{8} f(x) dx = 9.6 \)