Aufgaben
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Gegeben sind zwei Funktionen \( g(x) = x, x \leq -3 \) und \( h(x) = -x, x \geq 3 \), die durch eine Funktion \( f(x) \) miteinander verbunden werden sollen. Von der Verbindung wird verlangt, dass sie sprung- und knickfrei ist.
Aufgabe 3
Die Stadt „Eazyhausen" plant eine neue Umgehungsstraße. Hierfür sollen die beiden Straßenstücke \( s_1(x) \) und \( s_2(x) \) so miteinander verbunden werden, dass die Umgehungsstraße sprung- und knickfrei anliegt. Bestimme eine Verbindungsfunktion \( s(x) \), die sprung- und knickfrei anschließt.
Aufgabe 4
Gegeben ist eine Funktion \( f(x) = x^2, x \leq 2 \) und eine Funktionenschar \( g_k(x) = \frac{1}{2}x^3 - kx^2, x \geq 4 \).
Aufgabe 5
Ein Weidestück, das mit einer Seite an einen Fluss grenzt, soll mit einem Zaun abgesteckt werden. Hierfür stehen insgesamt 150m Zaun zur Verfügung. Bestimme die maximale Grundstücksgröße.
Aufgabe 6
Ein Quader soll so gebaut werden, dass die Länge doppelt so groß ist wie die Breite. Die Oberfläche des Quaders soll hierbei \( 490 \, \text{dm}^2 \) betragen.
Aufgabe 7
Der Punkt \( P_2 \) mit \( 0 \leq k \leq 3 \) liegt auf der Funktion
und bildet mit dem Punkt \( P_1 \) sowie dem Ursprung ein Dreieck.
Aufgabe 8
Die Funktion
bildet mit der \( x \)-Achse eine Fläche. In diese soll ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen Flächeninhalt maximiert werden soll. Bestimme den maximalen Flächeninhalt sowie die Eckpunkte des Rechtecks.
Aufgabe 9
Gegeben ist eine Funktionenschar
Bestimme den Wert \( t \), für den der Tiefpunkt am niedrigsten liegt.
Lösungen
Aufgabe 1
a)
\( f(2) = 1 \)
\( f'(2) = 0 \)
\( f(0) = 7 \)
\( \rightarrow f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 7 \)
b)
\( f(-4) = 9 \)
\( f(-1) = 0 \)
\( f(1) = 4 \)
\( \rightarrow f(x) = x^2 + 2x + 1 \)
c)
\( f(0) = 4 \)
\( f'(0) = 0 \)
\( f(1) = 2 \)
\( f''(1) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)
d)
\( f(4) = 4 \)
\( f'(4) = 0 \)
\( f(0) = 0 \)
\( f'(0) = 0 \)
\( \to f(x) = -\frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{4}x^2 \)
e)
\( f(0) = 0 \)
\( f(9) = 0 \)
\( f'(9) = -6 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6x \)
f)
\( f(0) = 0 \)
\( f'(3) = 12 \)
\( \rightarrow f(x) = 2x^2 \)
g)
\( f(3) = 6 \)
\( f'(3) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{1}{9}x^3 + 3x \)
h)
\( f(3) = 3 \)
\( f'(3) = 1 \)
\( f(0) = -6 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 5x - 6 \)
i)
\( f(0) = 0 \)
\( f(-1) = 3 \)
\( f'(-1) = -4 \)
\( f''(-1) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = x^3 + 3x^2 - x \)
j)
\( f(0) = 0 \)
\( f'(0) = 0 \)
\( f(-3) = -9 \)
\( f''(-3) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \)
k)
\( f'(2) = 0 \)
\( f(4) = 8 \)
\( f'(4) = 12 \)
\( \rightarrow f(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \)
l)
\( f(0) = 0 \)
\( f'(0) = 0 \)
\( f''(0) = 0 \)
\( f(2) = -4 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{1}{2}x^3 \)
m)
\( f(-2) = 0 \)
\( f(1) = 15 \)
\( f''(1) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = -3x^5 + 10x^3 + 8x \)
n)
\( f'(-4) = 0 \)
\( f(-2) = 8 \)
\( f'(-2) = -6 \)
\( f''(-2) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x^2 \)
Aufgabe 2
a)
\( f(-3) = -3 \)
\( f'(-3) = 1 \)
\( f(3) = -3 \)
\( f'(3) = -1 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2} \)
b)
\( f(-3) = -3 \)
\( f'(-3) = 1 \)
\( f''(-3) = 0 \)
\( f(3) = -3 \)
\( f'(3) = -1 \)
\( f''(3) = 0 \)
\( \rightarrow f(x) = \frac{1}{216}x^4 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{9}{8} \)
Aufgabe 3
\( s(-2) = 1 \); \( s'(-2) = -0.5 \); \( s(3) = -1 \); \( s'(3) = -1 \)
\( \rightarrow f(x) = -\frac{7}{250}x^3 - \frac{1}{125}x^2 - \frac{49}{250}x + \frac{52}{125} \)
Aufgabe 4
a)
\( h_k(2) = 4 \); \( h_k'(2) = 4 \); \( h_k(4) = 32 - 16k \); \( h_k'(4) = 24 - 8k \)
\( \rightarrow h_k(x) = 2kx^3 + (5 - 20k)x^2 + (56k - 16)x + 16 - 48k \)
b)
\( h_k''(2) = 2 \quad \rightarrow \quad k = 0.5 \)
Aufgabe 5
\( A_{max} = a \cdot b \) mit \( U = 2a + b \) und \( U = 150m \) ergibt umgeformt:
\( HP(37.5|2812.5) \rightarrow \) Die maximale Grundstücksgröße beträgt \( 2812,5m^2 \).
Aufgabe 6
a)
\( V = h \cdot b \cdot l \) mit \( l = 2 \cdot b \) ergibt \( V = h \cdot 2b^2 \)
\( O = 2hb + 2hl + 2bl \) mit \( l = 2 \cdot b \) und \( O = 490 \) ergibt umgeformt:
\( h = \frac{490-4b^2}{6b} \) und somit final \( V = -\frac{4}{3}b^3 + \frac{490}{3}b \).
b)
maximales Volumen: \( 695.81dm^3 \) mit einer Höhe von \( h \approx 8.52dm \).
Aufgabe 7
\( A = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (0.5k^3 - 3k^2 + 4.5k) \quad \to \quad k = 1.5 \)
Aufgabe 8
\( A = 2u \cdot (-0.25u^2 + 2) \quad \to \quad u = 1.63 \)
\( P_1(1.63|0) \); \( P_2(1.63|1.34) \); \( P_3(-1.63|0) \); \( P_4(-1.63|1.34) \)
\( A = 4.35 \, FE \)
Aufgabe 9
Bestimmung Tiefpunkt der Funktionenschar:
\( TP\left(\frac{1}{2} | -\frac{1}{4} + t^2 - t \right) \)
Betrachtet wird nun die Funktion \( f(t) = -\frac{1}{4} + t^2 - t \), deren Tiefpunkt an der Stelle \( t = 0.5 \) mit \( f(t) = -0.5 \) liegt.