Extrempunkte
Als Extrempunkte einer Funktion werden die Hoch- und Tiefpunkte bezeichnet. Ein Extrempunkt in \( f(x) \) hat stets die Steigung 0. Daher werden diese in \( f'(x) \) immer zu Nullstellen. Hieraus ergibt sich die sogenannte Notwendige Bedingung (\( f'(x) = 0 \)). Die Notwendige Bedingung muss, wie der Name vermuten lässt, stets erfüllt sein. Ist die Hinreichende Bedingung ebenso erfüllt, handelt es sich sicher um eine Extremstelle. Allgemein gilt:
| Notwendige Bedingung: | \( f'(x) = 0 \) |
| Hinreichende Bedingung: | \( f''(x) \neq 0 \) |
| → Ist \( f''(x) \gt 0 \) folgt ein Tiefpunkt | |
| → Ist \( f''(x) \lt 0 \) folgt ein Hochpunkt |
Gesucht: Extrempunkte einer Funktion \( f(x) \)
1. Ableitungen \( f'(x) \) und \( f''(x) \) bilden
2. Notwendige Bedingung: \( f'(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
3. Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f''(x) \) einsetzen und ausrechnen
4. Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln
Achtung: Ist nach Extremstellen gefragt, entfällt Schritt 4. Hier genügt es die x-Werte zu ermitteln.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x \). Gesucht sind die Extrempunkte der Funktion.
Schritt 1:
Ableitungen \( f'(x) \) und \( f''(x) \) bilden:
Schritt 2:
Notwendige Bedingung: \( f'(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen:
Schritt 3:
Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f''(x) \) einsetzen und ausrechnen:
Schritt 4:
Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln:
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