Gauß-Algorithmus

Analog zum Additionsverfahren gelten auch beim Gauß-Algorithmus drei Regeln:

Jede Zeile darf mit Zahlen, die nicht 0 sind, multipliziert werden
Zwei Zeilen dürfen stellenweise miteinander addiert oder subtrahiert werden
Zeilen dürfen beliebig untereinander vertauscht werden

Gesucht: LGS lösen mit dem Gauß-Algorithmus

Das Lineare Gleichungssystem wird in eine Matrix-Schreibweise überführt
Alle Stellen unterhalb der Hauptdiagonalen werden mithilfe der Regeln auf 0 gesetzt
Alle Stellen oberhalb der Hauptdiagonalen werden mithilfe der Regeln auf 0 gesetzt
Alle Stellen der Hauptdiagonalen werden durch Division auf 1 gesetzt

Beispiel:

\( \begin{aligned} \text{I}\;& 5a + 2b - 2c = -1 \\ \text{II}\;& 3a + 2b - 3c = -4 \\ \text{III}\;& 3a \phantom{+2b} + c = 4 \end{aligned} \)

Schritt 1: Das Lineare Gleichungssystem wird in eine Matrix-Schreibweise überführt. Dabei werden nur die jeweiligen Koeffizienten vor den Buchstaben eingetragen. Die jeweiligen Spalten stehen stets für eine bestimmte Variable bzw. die letzte Spalte stets für das Ergebnis der Gleichung:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 3 & \color{red}{2} & -3 & -4 \\ 3 & 0 & \color{red}{1} & 4 \end{array} \right) \quad (\text{Rot markiert: Hauptdiagonale}) \)

Schritt 2: Alle Stellen unterhalb der Hauptdiagonalen werden mithilfe der Regeln auf 0 gesetzt. Empfehlenswert ist dabei stets entgegen dem Uhrzeigersinn zu laufen:

Als erstes wird der Wert in der ersten Spalte in der zweiten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht mithilfe der dritten Zeile, die selbst nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 3 & \color{red}{2} & -3 & -4 \\ 3 & 0 & \color{red}{1} & 4 \end{array} \right) \;\xrightarrow{\text{II}-\text{III}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 3 & 0 & \color{red}{1} & 4 \end{array} \right) \)

Als zweites wird der Wert in der ersten Spalte in der dritten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht erneut mithilfe der ersten Zeile, die selbst allerdings nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 3 & 0 & \color{red}{1} & 4 \end{array} \right) \;\xrightarrow{3\cdot\text{I}-5\cdot\text{III}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 0 & 6 & -11 & -23 \end{array} \right) \)

Als drittes wird der Wert in der zweiten Spalte in der dritten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht mithilfe der zweiten Zeile, die selbst allerdings nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 0 & 6 & -11 & -23 \end{array} \right) \;\xrightarrow{3\cdot\text{II}-\text{III}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array} \right) \)

Schritt 3: Alle Stellen oberhalb der Hauptdiagonalen werden mithilfe der Regeln auf 0 gesetzt. Auch hier ist weiterhin empfehlenswert stets entgegen dem Uhrzeigersinn zu laufen:

Als erstes wird der Wert in der dritten Spalte in der zweiten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht mithilfe der dritten Zeile, die selbst allerdings nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & -4 & -8 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \;\xrightarrow{\text{II}-4\cdot\text{III}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 & -4 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \)

Als zweites wird der Wert in der dritten Spalte in der ersten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht mithilfe der dritten Zeile, die selbst allerdings nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & -2 & -1 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 & -4 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \;\xrightarrow{\text{I}-2\cdot\text{III}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & 0 & 1 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 & -4 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \quad (I - 2 \cdot III) \)

Als drittes wird der Wert in der zweiten Spalte in der ersten Zeile auf 0 gebracht. Dies geschieht mithilfe der zweiten Zeile, die selbst allerdings nicht verändert wird:

\( \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 2 & 0 & 1 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 & -4 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \;\xrightarrow{\text{I}-\text{II}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} \color{red}{5} & 0 & 0 & 5 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 & -4 \\ 0 & 0 & \color{red}{-1} & -1 \end{array} \right) \)

Schritt 4: Alle Stellen der Hauptdiagonalen werden durch Division auf 1 gesetzt

\( \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array} \right) \;\xrightarrow{\begin{array}{l} \text{1. Zeile}:5 \\ \text{2. Zeile}:2 \\ \text{3. Zeile}:(-1) \end{array}}\; \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \)

Nun hat man die Lösung des Linearen Gleichungssystems erhalten. Da die erste Spalte für die Variable a, die zweite für die Variable b, die dritte für die Variable c und die vierte Spalte für das Ergebnis stand, können die Lösungen nun zeilenweise abgelesen werden. Man erhält:

\( \begin{array}{ccc} a & = & 1 \\ b & = & -2 \\ c & = & 1 \end{array} \)

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