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Statistik Aufgaben

Aufgabe 1

In einer Schulklasse (25 Personen) wurde eine Umfrage durchgeführt, bei der nach der Anzahl der Geschwister gefragt wurde. Die Ergebnisse sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Geschwister} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Häufigkeit} & 5 & 10 & 7 & 2 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \)
a)
Bestimme jeweils die relativen Anteile der Häufigkeiten der Geschwister.
b)
Stelle die relativen Häufigkeiten in einem Säulendiagramm dar.
c)
Stelle die absoluten Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm dar.
d)
Bestimme alle Streu- und Lagemaße zu dieser Stichprobe.

Aufgabe 2

Ein Würfel wurde insgesamt zehnmal geworfen. Folgende Ergebnisse sind aufgetreten:

\( 4, 1, 2, 4, 6, 3, 1, 6, 6, 2 \)
a)
Stelle die absoluten und relativen Häufigkeiten in einer Tabelle dar.
b)
Berechne das arithmetische Mittel.
c)
Bestimme Median und Modalwert.
d)
Berechne die Standardabweichung. Interpretiere das Ergebnis.
e)
Erkläre, warum die Berechnung der Spannweite in dieser Erhebung unsinnig ist.
f)
Beurteile, inwiefern die Berechnung von Streu- und Lagemaßen in einem Würfelwurf-Experiment sinnvoll ist.

Aufgabe 3

Der Benzinverbrauch von zwei Autotypen soll getestet werden. Folgende Werte (in l/100km) wurden gemessen:

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Typ A} & 6,2 & 7,5 & 8,7 & 7,9 & 8,5 & 7,1 & 9,4 & 7,8 & 7,8 \\ \hline \text{Typ B} & 8,0 & 7,4 & 8,0 & 8,8 & 8,5 & 9,1 & 7,7 & 8,3 & 6,9 \\ \hline \end{array} \)
a)
Ordne die Beobachtungswerte der Größe nach.
b)
Bestimme jeweils den Median der beiden Typen. Vergleiche die Werte.
c)
Bestimme jeweils die Spannweite und den Modalwert.
d)
Bestimme das arithmetische Mittel für beide Fahrzeugtypen. Welches Auto hat den besseren Benzinverbrauch?

Lösungen

Aufgabe 1

a)

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Geschwister} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Abs. Häufigkeit} & 5 & 7 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{Rel. Häufigkeit} & 0.2 & 0.4 & 0.28 & 0.08 & 0 & 0.04 \\ \hline \end{array} \)

b)

c)

d)

\( \begin{aligned} &\text{Arith. Mittel: } \bar{x} = 1.4 \\ &\text{Spannweite: } 5 \\ &\text{Median: } 1 \\ &\text{Emp. Varianz: } V = 1.28 \\ &\text{Modalwert: } 1 \\ &\text{Emp. Standardabweichung: } S \approx 1.13 \end{aligned} \)

Aufgabe 2

a)

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Augenzahl} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Abs. Häufigkeit} & 2 & 2 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ \hline \text{Rel. Häufigkeit} & 0.2 & 0.2 & 0.1 & 0.2 & 0 & 0.3 \\ \hline \end{array} \)

b)

\( \bar{x} = 3.5 \)

c)

\( \text{Median: 3.5, Modalwert: 6} \)

d)

\( S \approx 1.91 \)

Der Wert beschreibt die durchschnittliche quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel.

e) Die Spannweite ist bei einem Würfelwurf immer 5, da der minimale und maximale Wert durch die Augenzahlen festgelegt ist.

f) Die Berechnungen sind unsinnig, da davon ausgegangen werden kann, dass die Anteile der Ausprägungen (Augenzahl) bei einer höheren Grundgesamtheit in der Verteilung gleichmäßig sind.

Aufgabe 3

a)

\( \begin{aligned} &\text{Typ A: } 6.2 < 7.1 < 7.5 < 7.8 = 7.8 < 7.9 < 8.5 < 8.7 < 9.4 \\ &\text{Typ B: } 6.9 < 7.4 < 7.7 < 8.0 = 8.0 < 8.3 < 8.5 < 8.8 < 9.1 \end{aligned} \)

b) Der Median von Typ A liegt bei 7.8 und der von Typ B bei 8.0. Der Median von Typ A ist somit kleiner.

c)

\( \begin{aligned} &\text{Typ A: Spannweite: 3.2 Modalert: 7.8} \\ &\text{Typ B: Spannweite: 2.2 Modalert: 8.0} \end{aligned} \)

d)

\( \overline{x_A} = 7.88, \quad \overline{x_B} = 8.08 \)

Im Durchschnitt hat Typ A den besseren Benzinverbrauch. Allerdings weist dieser Typ eine größere Streuung auf.

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