Gebrochen-rationale Funktion
Eine Funktion wird als gebrochen-rational bezeichnet, wenn sie aus einer ganzrationalen Zähler- und einer ganzrationalen Nennerfunktion besteht.
Allgemeine Form
\( Z(x) \): Zählerfunktion
\( N(x) \): Nennerfunktion
Charakteristisch für die Gebrochen-rationale Funktionen sind zwei Eigenschaften:
Definitionslücken
Gebrochen-rationale Funktionen haben x-Werte, die keinen y-Wert besitzen – sie sind an dieser Stelle nicht definiert. Diese Stellen werden als Definitionslücke bezeichnet. Eine solche Definitionslücke liegt genau dann vor, wenn die Nennerfunktion 0 ist.
Gesucht: Definitionslücke einer gebrochen-rationalen Funktion
1. Nennerfunktion \( N(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
Beispiel:
Gesucht ist die Definitionslücke der Funktion \( f(x) = \frac{2x}{x-4} \)
Schritt 1: Die Nennerfunktion \( N(x) = x - 4 \) wird mit 0 gleichgesetzt und nach x aufgelöst:
Die Definitionslücke der Funktion liegt also bei \( x = 4 \). Wird dieser x-Wert in die Funktion eingesetzt, kann kein y-Wert berechnet werden.
Asymptotisches Verhalten
Eine Asymptote ist ein Wert, an den sich der Graph einer Funktion stetig annähert, aber nie genau erreicht. Für gebrochen-rationale Funktionen lässt sich die Asymptote durch den Vergleich von Zählergrad (ZG) und Nennergrad (NG) genau bestimmen:
Beispiele:
a) Gesucht ist das asymptotische Verhalten der Funktion \( f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} \)
Der Zähler- und der Nennergrad der Funktion ist jeweils 1 und somit gleich. Zum Bestimmen der Asymptote wird nun der Quotient der beiden Vorfaktoren gebildet.
Die Asymptote liegt daher bei \( y = \frac{4}{3} = 2 \).
b) Gesucht ist das asymptotische Verhalten der Funktion \( f(x) = \frac{5}{x - 4} \)
Der Zählergrad ist in diesem Beispiel 0 und der Nennergrad 1. Daher ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad.
Die Asymptote liegt daher bei \( y = 0 \).
c) Gesucht ist das asymptotische Verhalten der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \)
Der Zählergrad ist in diesem Beispiel 2 und der Nennergrad 1. Daher ist der Zählergrad größer als der Nennergrad.
Die Funktion besitzt daher eine schräge Asymptote.
