Extremwertprobleme

Bei diesen Aufgabentypen handelt es sich um einen Optimierungsprozess, indem eine Maßzahl maximiert oder minimiert werden soll. Gesucht ist eine Funktion, die zum einen die Maßzahl angibt und zum anderen von lediglich einer Variablen abhängt. Ist eine Funktion von mehr als einer Variablen abhängig, so müssen Variablen durch das Aufstellen von Bedingungen eliminiert werden. Ein solcher Optimierungsprozess verläuft nach bestimmten Schritten:

Beispiel:

Mit einem Zaun soll eine rechteckige Fläche abgesteckt werden. Hierfür stehen 600m Zaunmaterial zur Verfügung. Gesucht ist die maximale Fläche sowie die jeweiligen Längen der Seiten.

Schritt 1: Aufstellen der Hauptbedingung, welche Maßzahl maximiert bzw. minimiert werden soll:

In diesem Beispiel ist nach der maximalen Fläche gesucht. Daher benötigt man die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken:

Schritt 2: Aufstellen von Nebenbedingungen:

Es ist die Information gegeben, dass \(600m\) Zaunmaterial zur Verfügung stehen. Diese \(600m\) ergeben den Umfang des Rechtecks. Daher setzt man diese Größe in die Formel des Umfangs eines Rechtecks ein:

Schritt 3: Nebenbedingungen umformen und in die Hauptbedingung einsetzen:

In diesem Beispiel kann die Nebenbedingung sowohl nach \(a\) als auch nach \(b\) umgeformt werden. In diesem Fall wird sie nach \(a\) umgeformt:

Schritt 4: Untersuchung der Hauptbedingung auf Extremstellen:

Schritt 5: Berechnung der fehlenden Größen:

Der maximale Flächeninhalt beträgt somit \(22500m^2\), wenn das Rechteck quadratisch ist mit jeweils einer Seitenlänge von \(150m\).