Zwei Geraden können im Raum verschiedene Lagebeziehungen einnehmen. Möglich ist es, dass sie parallel, identisch, windschief zueinander sind oder sich an einem Punkt schneiden. Das Vorgehen zur Bestimmung der Lagebeziehung wird in der unteren Grafik dargestellt.
Die Geraden sind linear abhängig. Das bedeutet, dass die Geraden in dieselbe Richtung zeigen. Die Geraden können somit nur noch parallel oder identisch sein.
Jetzt genügt es eine Punktprobe durchzuführen. Warum? Wenn sie parallel sind, gibt es gar keine gemeinsamen Punkte und die Punktprobe wäre nicht erfüllt. Wenn sie identisch sind, sind alle Punkte der Geraden identisch und die Punktprobe wäre erfüllt.
Schritt 2: Wir prüfen, ob ein Punkt der Geraden g auf der Geraden h liegt. Es bietet sich an, als Punkt den Stützvektor der Geraden g zu nehmen:
Die Geraden sind nicht linear abhängig. Das bedeutet, dass die Geraden nicht in dieselbe Richtung zeigen. Sie sind somit windschief oder schneiden sich in einem Punkt.
Schritt 2: Wir prüfen, ob sich beide Gerade schneiden, indem wir beide Geraden gleichsetzen. Erhalten wir eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Erhalten wir keine Lösung, sind die Geraden windschief zueinander:
Nun ist unsere Gleichung nach Parametern geordnet. Diese Gleichung überführen wir in ein Gleichungssystem, das mithilfe unseres Taschenrechners gelöst wird (Achtung: An dieser Stelle wird das in der Klasse vereinbarte Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems angewandt):
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Die Geraden sind somit schneidend.
Schritt 3: Schneiden sich die Geraden, muss zudem noch der Schnittpunkt bestimmt werden. Dafür setzen wir entweder \( r = 0 \) in die Gerade g oder \( s = 2 \) in die Gerade h ein:
Die Geraden sind nicht linear abhängig. Das bedeutet, dass die Geraden nicht in dieselbe Richtung zeigen. Sie sind somit windschief oder schneiden sich in einem Punkt.
Schritt 2: Wir prüfen, ob sich beide Gerade schneiden, indem wir beide Geraden gleichsetzen. Erhalten wir eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Erhalten wir keine Lösung, sind die Geraden windschief zueinander:
Nun ist unsere Gleichung nach Parametern geordnet. Diese Gleichung überführen wir in ein Gleichungssystem, das mithilfe unseres Taschenrechners gelöst wird (Achtung: An dieser Stelle wird das in der Klasse vereinbarte Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems angewandt):
Die Geraden sind linear abhängig. Das bedeutet, dass die Geraden in dieselbe Richtung zeigen. Die Geraden können somit nur noch parallel oder identisch sein.
Jetzt genügt es eine Punktprobe durchzuführen. Warum? Wenn sie parallel sind, gibt es gar keine gemeinsamen Punkte und die Punktprobe wäre nicht erfüllt. Wenn sie identisch sind, sind alle Punkte der Geraden identisch und die Punktprobe wäre erfüllt.
Schritt 2: Wir prüfen, ob ein Punkt der Geraden g auf der Geraden h liegt. Es bietet sich an, als Punkt den Stützvektor der Geraden g zu nehmen:
\(
\begin{aligned}
I. & \quad 2 = -4 + s \cdot (-3) & \rightarrow \quad s = -2 \\
II. & \quad 2 = 6 + s \cdot 2 & \rightarrow \quad s = -2 \\
III. & \quad 2 = 4 + s \cdot 1 & \rightarrow \quad s = -2
\end{aligned}
\)
Die Punktprobe ist erfüllt. Die Geraden sind somit identisch.
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