Unbegrenztes Wachstum / Unbegrenzte Abnahme
- \( B(t) \): Bestand zum Zeitpunkt \( t \)
- \( B(0) \): Anfangsbestand
- \( k \): Proportionalitätskonstante
- \( t \): Zeitvariable
Im Gegensatz zu den anderen exponentiellen Wachstumsarten ist das Wachstum unbegrenzt. In diesem Fall liegt die Asymptote bei \( y = 0 \). Man spricht genau dann von einem unbegrenztem Wachstum, wenn die Proportionalitätskonstante \( k > 0 \) ist. Von einer unbegrenzten Abnahme spricht man dagegen, wenn die Proportionalitätskonstante \( k < 0 \) ist.
Unbegrenzte Zunahme
Unbegrenzte Abnahme
Häufig wird im Zusammenhang mit dem unbegrenzten Wachstumsprozess nach der Halbwertszeit bzw. der Verdopplungszeit gefragt.
Halbwertszeit:
Zeitspanne, bis sich ein Bestand halbiert hat
Verdopplungszeit:
Zeitspanne, bis sich ein Bestand verdoppelt hat
Beispiel:
Bei einem radioaktiven Präparat zerfällt jedes Jahr die vorhandene Masse um 15%. Zu Beginn sind 12mg der Substanz vorhanden.
a) Bestimme die zugrunde liegende Exponentialfunktion.
b) Nach wie viel Jahren sind noch 2mg der Anfangssubstanz vorhanden?
Antwort: Nach ungefähr 11 Jahren sind noch 2mg der ursprünglichen Substanz vorhanden.
c) Bestimme die Halbwertszeit.
Antwort: Die Halbwertszeit beträgt ungefähr 4,27 Jahre.