Kurvendiskussion Aufgaben
Aufgabe 1
Bestimme für die folgenden Funktionen jeweils den mathematisch maximal möglichen Definitions- und Wertebereich.
Aufgabe 2
Untersuche die folgenden Funktionen auf mögliche Symmetrieeigenschaften.
Aufgabe 3
Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen für die folgenden Funktionen.
Aufgabe 4
Untersuche die folgenden Funktionen auf mögliche Extrem- und Wendepunkte.
Aufgabe 5
Bestimme das Globalverhalten der folgenden Funktionen.
Aufgabe 6
Führe eine vollständige Funktionsanalyse für die folgenden Funktionen durch.
Aufgabe 7
Der obere Rand der Hülle einer Glasflasche wird beschrieben durch eine Funktion f mit:
\( x \) und \( f(x) \) in Zentimetern.
Lösungen
Aufgabe 1
a) \( D = \mathbb{R}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)
b) \( D = \mathbb{R}; \quad W = [4, +\infty[ \)
c) \( D = \mathbb{R} \geq -3; \quad W = [0, +\infty[ \)
d) \( D = \mathbb{R} \leq -2 \land \mathbb{R} \geq 2; \quad W = [0, +\infty[ \)
e) \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)
f) \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)
Aufgabe 2
a) Punktsymmetrie: \( f(x) = f(-x) \)
b) Achsensymmetrie: \( -f(x) = f(-x) \)
c) keine Symmetrie
d) Achsensymmetrie: \( -f(x) = f(-x) \)
e) Punktsymmetrie: \( f(x) = f(-x) \)
f) keine Symmetrie
Aufgabe 3
a) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = -1 \)
b) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = \frac{2}{3} \)
c) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -4 \)
Nullstellen: keine
d) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 1 \)
Nullstellen: \( x = -1 \)
e) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)
f) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -5 \)
Nullstellen: \( x = \frac{\ln(6)}{2} \)
Aufgabe 4
a) Extrempunkte: \( HP(-1|10); \quad TP(3|-54) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(1|-22) \)
b) Extrempunkte: \( TP(-1|0); \quad HP(0|1); \quad TP(1|0) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(-0.577|0.45); \quad RL-WP(0.577|0.45) \)
c) Extrempunkte: \( TP(3|-4) \)
Wendepunkte: keine
d) Extrempunkte: \( HP(-1|8); \quad TP(1|-8) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(0|0) \)
e) Extrempunkte: \( TP(-0.5|-0.075) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(-1|-0.055) \)
f) Extrempunkte: \( HP(1|0.37) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(2|0.27) \)
Aufgabe 5
a) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to -\infty \)
b) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
c) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to 3 \)
d) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to 0 \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Aufgabe 6
a) \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = [-4; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -3 \)
Nullstellen: \( x_1 = -1; \quad x_2 = 3 \)
Extrempunkte: \( TP(1|-4) \)
b) \( f(x) = x^3 + 27 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 27 \)
Nullstellen: \( x = -3 \)
Extrempunkte: keine
Wendepunkte: \( RL-Sattelpunkt (0|27) \)
c) \( f(x) = x^3 - 2x^2 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = 2 \)
Extrempunkte: \( HP(0|0); \quad TP(1.33|-1.19) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(0.67|-0.59) \)
d) \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 4 \)
Symmetrie: Achsensymmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = [3; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 4 \)
Nullstellen: keine
Extrempunkte: \( TP(-1|3); \quad HP(0|4); \quad TP(1|3) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(-0.58|3.44); \quad RL-WP(0.58|3.44) \)
e) \( f(x) = e^{-x} \cdot 2x \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to 0 \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; 0.74[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)
Extrempunkte: \( HP(1|0.74) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(2|0.54) \)
f) \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to -\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)
Extrempunkte: \( TP(1|-0.83); \quad HP(2|-0.67) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(1.5|-0.75) \)