Kurvendiskussion Aufgaben

Aufgabe 1

a) \( D = \mathbb{R}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)

b) \( D = \mathbb{R}; \quad W = [4, +\infty[ \)

c) \( D = \mathbb{R} \geq -3; \quad W = [0, +\infty[ \)

d) \( D = \mathbb{R} \leq -2 \land \mathbb{R} \geq 2; \quad W = [0, +\infty[ \)

e) \( D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)

f) \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}; \quad W = ]-\infty, +\infty[ \)

Aufgabe 2

a) Punktsymmetrie: \( f(x) = f(-x) \)

b) Achsensymmetrie: \( -f(x) = f(-x) \)

c) keine Symmetrie

d) Achsensymmetrie: \( -f(x) = f(-x) \)

e) Punktsymmetrie: \( f(x) = f(-x) \)

f) keine Symmetrie

Aufgabe 3

a) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = -1 \)

b) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = \frac{2}{3} \)

c) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -4 \)
Nullstellen: keine

d) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 1 \)
Nullstellen: \( x = -1 \)

e) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)

f) y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -5 \)
Nullstellen: \( x = \frac{\ln(6)}{2} \)

Aufgabe 4

a) Extrempunkte: \( HP(-1|10); \quad TP(3|-54) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(1|-22) \)

b) Extrempunkte: \( TP(-1|0); \quad HP(0|1); \quad TP(1|0) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(-0.577|0.45); \quad RL-WP(0.577|0.45) \)

c) Extrempunkte: \( TP(3|-4) \)
Wendepunkte: keine

d) Extrempunkte: \( HP(-1|8); \quad TP(1|-8) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(0|0) \)

e) Extrempunkte: \( TP(-0.5|-0.075) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(-1|-0.055) \)

f) Extrempunkte: \( HP(1|0.37) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(2|0.27) \)

Aufgabe 5

a) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to -\infty \)

b) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)

c) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to 3 \)

d) \( x \to -\infty; \quad f(x) \to 0 \)
\( x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)

Aufgabe 6

a) \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = [-4; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -3 \)
Nullstellen: \( x_1 = -1; \quad x_2 = 3 \)
Extrempunkte: \( TP(1|-4) \)

b) \( f(x) = x^3 + 27 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 27 \)
Nullstellen: \( x = -3 \)
Extrempunkte: keine
Wendepunkte: \( RL-Sattelpunkt (0|27) \)

c) \( f(x) = x^3 - 2x^2 \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x_1 = 0; \quad x_2 = 2 \)
Extrempunkte: \( HP(0|0); \quad TP(1.33|-1.19) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(0.67|-0.59) \)

d) \( f(x) = x^4 - 2x^2 + 4 \)
Symmetrie: Achsensymmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to +\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = [3; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 4 \)
Nullstellen: keine
Extrempunkte: \( TP(-1|3); \quad HP(0|4); \quad TP(1|3) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(-0.58|3.44); \quad RL-WP(0.58|3.44) \)

e) \( f(x) = e^{-x} \cdot 2x \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to -\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to 0 \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; 0.74[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)
Extrempunkte: \( HP(1|0.74) \)
Wendepunkte: \( RL-WP(2|0.54) \)

f) \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 2x \)
Symmetrie: keine Symmetrie
Globalverhalten: \( x \to -\infty; \quad f(x) \to +\infty; \quad x \to +\infty; \quad f(x) \to -\infty \)
Definitionsbereich: \( D = \mathbb{R} \)
Wertebereich: \( W = ]-\infty; +\infty[ \)
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \)
Nullstellen: \( x = 0 \)
Extrempunkte: \( TP(1|-0.83); \quad HP(2|-0.67) \)
Wendepunkte: \( LR-WP(1.5|-0.75) \)