Aufgabe 5 – Grundlegendes Anforderungsniveau
Im Harz soll eine neue Skisprungschanze errichtet werden. Für das Projekt ist das Ingenieurbüro „EazyBau" beauftragt worden. Die nebenstehende Abbildung zeigt den ersten Entwurf für diese Schanze. Dabei beschreibt für den Bereich \(0 < x \leq 13\) die Funktion
die Aufsprungbahn der Schanze (\(x\) in 10 Metern), \(g(x)\) Höhe über dem Boden in 10 Metern).
a) Die Funktion
beschreibt für den Bereich \(-10 \leq x \leq 0\) die Anlaufbahn der Bahn (\(x\) in 10 Metern), \(f(x)\) Höhe über dem Boden in 10 Metern). Bestimme die Höhe des Startpunkts der Anlaufbahn über den Boden. Zeige, dass der Übergang zwischen Anlaufbahn und Aufsprungbahn knick-, aber nicht sprung- und krümmungsrückfrei ist.
Skizziere in Abbildung 1 die Steigung der gesamten Skisprungschanze. Erkläre, woran in den Ableitungen deutlich wird, dass die beiden Funktionen an der Stelle \(x = 0\) nicht krümmungsrückfrei sind.
Die Aufsprungbahn ist am Schanzentisch zunächst konvex und weiter zum Auslauf hin konkav gekrümmt. Der Übergang zwischen den beiden Krümmungen ist der Beginn der Landezone. In diesem Punkt ist das Gefälle der Aufsprungbahn maximal. Die Landezone endet am sogenannten Hillsize-Punkt bei \(x = 10,2\).
b) Berechne den Beginn der Landezone.
Bestimme die durchschnittliche Steigung für die gesamte Landezone.
Berechne den Wert für \(g'(10,2)\) und gib die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang an.
An die Aufsprungbahn soll eine Auslaufbahn \(h(x)\) anschließen, die an \(g(x)\) sprung- und knickfrei anschließt. Bestimme die Funktionsgleichung \(h(x)\).
Für eine optimale Landung wird eine Schneeschicht aufgetragen, die eine vertikale Höhe von 20cm besitzt. Berechne die Menge an Schnee in m³, die für die gesamte Auslaufbahn benötigt wird, wenn diese 50m lang ist und eine durchschnittliche Breite von 15m besitzt.
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktionenschar
betrachtet.
c) In Abbildung 2 sind zwei Funktionen für verschiedene Werte von \(k\) zu sehen. Begründe, dass es sich hierbei um die Funktionen \(f_{-1}(x)\) und \(f_{-2}(x)\) handelt.
Begründe, dass die Funktionenschar unabhängig des Parameters \(k\) stets genau nur eine Nullstellen besitzen kann.
Anhang
Abbildung1
Abbildung2
Lösung
Aufgabenteil a)
1. \( f(-10) = 14.8 \)
2.
Sprungfrei:
Knickfrei:
Krümmungsrückfrei:
3.
4.
- Krümmungsrückfrei bedeutet, dass \( f'(x) \) und \( g'(x) \) knickfrei aneinander schließen, sie also dieselbe Steigung an dieser Stelle in den Ableitungen besitzen.
Aufgabenteil b)
1. Beginn der Landezone ist der Wendepunkt von \( g(x) \to x \approx 5.75 \)
2. Durchschnittliche Steigung:
3. \( g'(10.2) \approx -0.475 \)
Der Wert gibt die momentane Steigung am Hillsize-Punkt an.
4. \( h(x) = ax + b \) mit \( h(13) = g(13) = 0.16 \) und \( h'(13) = g'(13) = 0.33 \)
5. \( V = 15\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} \cdot 0.2\,\text{m} = 150\,\text{m}^3 \)
Aufgabenteil c)
1. Nullstellen von \( f_k(x) \) liegen bei \( x = -k \). Daraus folgen die Werte durch Ablesen.
2. Nullstellen von \( f_k(x) \) liegen stets nur bei \( x = -k \). Unabhängig des Parameters \( k \) können keine weiteren Nullstellen vorliegen.
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