Aufgaben
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = -x^2 + 4x - 2 \).
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = x^2 + 4 \).
Aufgabe 3
Gegeben sind die Funktionen \( f(x) = -x^2 + x + 4 \) und \( g(x) = 2x^2 - x + 4 \).
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = -x^2 + 16 \).
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_k(x) = kx^3 - kx \).
Lösungen
Aufgabe 1
a) \( m = \frac{-7-2}{5-2} = -3 \)
b) \( m = f'(1) = 2 \)
c) Tangente: \( y_T = 2x - 1 \) → Normale: \( y_N = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \)
Aufgabe 2
a) \( y_S = 2x + 4 \)
b) \( y_T = 6x - 5 \)
c) \( y_N = -\frac{1}{6}x + 13.5 \)
Aufgabe 3
a) \( f(x) = g(x) \rightarrow x_1 = 0; \, x_2 = \frac{2}{3} \)
b) Tangente an \( f(x) \) an der Stelle \( x = 0 \): \( y_{T,f} = x + 4 \)
Tangente an \( g(x) \) an der Stelle \( x = 0 \): \( y_{T,g} = -x + 4 \)
Es gilt: \( m_{T,g} = -\frac{1}{m_{T,f}} = -\frac{1}{1} = -1 \). Somit ist die Tangente an \( g(x) \) die Normale zu \( f(x) \) und somit schneiden die beiden Funktionen sich in einem rechten Winkel.
Aufgabe 4
a) \( y_T = -8x + 32 \)
b) \( \tan \alpha = -8 \rightarrow \alpha \approx 82,87^\circ \)
Aufgabe 5
a) \( f_k(2) = 6k; \, f_k(5) = 120k \quad m = \frac{120k-6k}{5-2} = 38k \)
b) Tangente: \( y_T = 2kx - 2k \) → \( y_N = -\frac{1}{2k}x + \frac{1}{2k} \)
c) \( \tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \)
\( \tan(\alpha) = \frac{2k}{1} \quad |\tan^{-1}| \)
\( \alpha = \tan^{-1}(2k) \)
