Wendepunkte
Als Wendepunkte einer Funktion werden die Stellen mit der betragsmäßig größten Steigung bezeichnet. Daher werden Wendepunkte in \( f'(x) \) stets zu Extremstellen und wiederum in \( f''(x) \) zu Nullstellen. Hieraus ergibt sich die sogenannte Notwendige Bedingung (\( f''(x) = 0 \)). Die Notwendige Bedingung muss, wie der Name vermuten lässt, stets erfüllt sein. Ist die Hinreichende Bedingung ebenso erfüllt, handelt es sich sicher um eine Wendestelle. Allgemein gilt:
| Notwendige Bedingung: | \( f''(x) = 0 \) |
| Hinreichende Bedingung: | \( f'''(x) \neq 0 \) |
| → Ist \( f'''(x) \gt 0 \) folgt eine Rechts-Links Wendestelle | |
| → Ist \( f'''(x) \lt 0 \) folgt eine Links-Rechts Wendestelle | |
Gesucht: Wendepunkte einer Funktion \( f(x) \)
1. Ableitungen \( f''(x) \) und \( f'''(x) \) bilden
2. Notwendige Bedingung: \( f''(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
3. Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f'''(x) \) einsetzen und ausrechnen.
4. Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln
Achtung: Ist nach Wendestellen gefragt, entfällt Schritt 4. Hier genügt es die x-Werte zu ermitteln.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = x^4 + 2x^3 - x \). Gesucht sind die Wendepunkte der Funktion.
Schritt 1:
Ableitungen \( f''(x) \) und \( f'''(x) \) bilden:
Schritt 2:
Notwendige Bedingung: \( f''(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen:
Schritt 3:
Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f'''(x) \) einsetzen und ausrechnen:
Schritt 4:
Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln:
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