Analyse einer Funktionenschar
Wie auch beim Ab- oder Aufleiten gilt für die Analyse einer Funktionenschar: Das Prinzip bleibt dasselbe! Der Parameter wird hierbei wie eine Zahl behandelt und besondere Stellen werden in Abhängigkeit dieses Parameters ermittelt. Am Beispiel der Funktionenschar \( f_k(x) = x^3 - kx^2 \) mit \( k \neq 0 \) soll im Folgenden die allgemeine Bestimmung besonderer Punkte in Abhängigkeit des Parameters \( k \) durchgeführt werden.
Nullstellen
Gesucht: Nullstellen einer Funktionenschar \( f_k(x) \)
1. \( f_k(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
Schritt 1: \( f_k(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen:
Die Scharfunktion hat somit zwei Nullstellen bei \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = k \).
y-Achsenabschnitt
Gesucht: y-Achsenabschnitt einer Funktionenschar \( f_k(x) \)
1. \( f_k(0) \) berechnen
Schritt 1: \( f_k(0) \) berechnen:
Die Scharfunktion schneidet die y-Achse im Ursprung bei \( y = 0 \). Der y-Achsenabschnitt ist somit unabhängig vom Parameter k.
Extrempunkte
Gesucht: Extrempunkte einer Funktionenschar \( f_k(x) \)
1. Ableitungen \( f_k'(x) \) und \( f_k''(x) \) bilden
2. Notwendige Bedingung: \( f_k'(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
3. Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f_k''(x) \) einsetzen und ausrechnen
4. Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f_k(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln
Achtung: Ist nach Extremstellen gefragt, entfällt Schritt 4. Hier genügt es die x-Werte zu ermitteln.
Schritt 1: Ableitungen \( f_k'(x) \) und \( f_k''(x) \) bilden:
Schritt 2: Notwendige Bedingung: \( f_k'(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen:
Schritt 3: Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f_k''(x) \) einsetzen und ausrechnen:
Da \( k \neq 0 \) durch die Aufgabenstellung vorgegeben wurde, ist die Hinreichende Bedingung erfüllt, da \( f_k''(0) \neq 0 \).
Fallunterscheidung:
Ist \( k \gt 0 \), so ist \( f_k''(0) = -2k \lt 0 \) und somit wäre es ein Hochpunkt.
Ist \( k \lt 0 \), so ist \( f_k''(0) - 2k \gt 0 \) und somit wäre es ein Tiefpunkt.
Da \( k \neq 0 \) durch die Aufgabenstellung vorgegeben wurde, ist die Hinreichende Bedingung erfüllt, da \( f_k''(\frac{2}{3}k) \neq 0 \).
Fallunterscheidung:
Ist \( k \gt 0 \), so ist \( f_k''(\frac{2}{3}k)) = 2k \gt 0 \) und somit wäre es ein Tiefpunkt.
Ist \( k \lt 0 \), so ist \( f_k''(\frac{2}{3}k) = 2k \lt 0 \) und somit wäre es ein Hochpunkt.
Schritt 4: Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f_k(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln:
Wendepunkte
Gesucht: Wendepunkte einer Funktionenschar \( f_k(x) \)
1. Ableitungen \( f_k''(x) \) und \( f_k'''(x) \) bilden
2.Notwendige Bedingung: \( f_k''(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen
3. Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f_k'''(x) \) einsetzen und ausrechnen.
4. Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f_k(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln
Achtung: Ist nach Wendestellen gefragt, entfällt Schritt 4. Hier genügt es die x-Werte zu ermitteln.
Schritt 1: Ableitungen \( f_k''(x) \) und \( f_k'''(x) \) bilden:
Schritt 2: Notwendige Bedingung: \( f_k''(x) \) mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen:
Schritt 3: Hinreichende Bedingung: Ermittelte x-Werte aus Schritt 2 in \( f_k'''(x) \) einsetzen und ausrechnen:
An dieser Stelle ist keine Fallunterscheidung erforderlich. Es handelt sich an der Stelle \( x = \frac{1}{3} k \) um eine Rechts-Links Wendestelle.
Schritt 4: Ermittelten x-Wert aus Schritt 2 in \( f_k(x) \) einsetzen, um den y-Wert zu ermitteln:
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